1. Η έννοια του συνόλου 1
2. Μέθοδοι για τον καθορισμό του συνόλου 3
3. Σχέσεις μεταξύ συνόλων 5
4.Βασικές πράξεις στα σετ 7
5.Ιδιότητες ένωσης και τομής συνόλων 10
6. Διαχωρισμός του συνόλου σε κλάσεις. Ταξινόμηση 11
7. Αριθμός στοιχείων της ένωσης και διαφοράς δύο πεπερασμένων συνόλων 12
8. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων 13
Έννοια του συνόλου
Μία από τις κύριες έννοιες των σύγχρονων μαθηματικών είναι η έννοια σκηνικά . Είναι πρωτογενές, δηλαδή δεν μπορεί να οριστεί μέσα από άλλες, πιο απλές έννοιες. Συναντάμε την έννοια του σετ αρκετά συχνά: πολλοί φοιτητές στο ινστιτούτο μας, πολλοί δάσκαλοι, πολλοί κλάδοι που μελετήθηκαν κ.λπ.
Αν και, λόγω της υπεροχής της έννοιας του συνόλου, είναι αδύνατο να του δοθεί ένας αυστηρός ορισμός, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον περιγραφικό ορισμό που προτείνει ένας από τους δημιουργούς της θεωρίας συνόλων, ο Γερμανός μαθηματικός Georg Cantor (1845-1918). Αυτός είπε: «Το πλήθος είναι πολλά πράγματα που θεωρούμε ως ένα».
Τα παραπάνω παραδείγματα έχουν μια βασική ιδιότητα: όλα αυτά τα σύνολα αποτελούνται από έναν ορισμένο πεπερασμένο αριθμό αντικειμένων, τα οποία θα ονομάσουμε στοιχεία του συνόλου . Επιπλέον, καθένα από τα αντικείμενα ενός δεδομένου τύπου είτε ανήκει είτε δεν ανήκει στο υπό εξέταση σύνολο. Για παράδειγμα, αν λάβουμε υπόψη το σύνολο των μαθητών μιας συγκεκριμένης ομάδας μελέτης, τότε, γυρίζοντας στη λίστα αυτής της ομάδας, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι ο μαθητής Ivanov ανήκει σε αυτό το σύνολο και ο φοιτητής Petrov δεν ανήκει πλέον λόγω αποβολής.
Τα σύνολα που περιλαμβάνουν μόνο εκείνα τα αντικείμενα των οποίων η συμμετοχή ή η μη συμμετοχή σε ένα συγκεκριμένο σύνολο είναι αναμφίβολα καλούνται Σαφή σκηνικά . Εφόσον κάθε αντικείμενο που εξετάζεται είτε ανήκει είτε δεν ανήκει στο ξεχωριστό σύνολο υπό εξέταση, αυτά τα σύνολα έχουν πάντα σαφώς καθορισμένα όρια. Τα τραγανά σετ αντιτίθενται ασαφής ή «γλωσσικά» σύνολα , συμπεριλαμβανομένων τέτοιων αντικειμένων που μπορούν να αντιστοιχιστούν σε ένα συγκεκριμένο σύνολο μόνο με έναν ορισμένο βαθμό βεβαιότητας. Η έννοια των ασαφών συνόλων ( ασαφή σύνολα ) εισήχθη για πρώτη φορά το 1965 από τον Αμερικανό μαθηματικό L. Zadeh.
Η έννοια του ασαφούς συνόλου μπορεί να απεικονιστεί με το παράδειγμα της χρήσης των επιθέτων παιδικός, νεανικός, νέος, μεσήλικας, ηλικιωμένος, ηλικιωμένος. Διαφορετικοί άνθρωποι βάζουν διαφορετικά όρια ηλικίας σε αυτές τις έννοιες. Για παράδειγμα, η περίοδος από 16 έως 21 ετών μπορεί να θεωρηθεί είτε εφηβεία είτε νεαρή ενήλικη ζωή. Έτσι, καθένας από τους εξεταζόμενους ορισμούς είναι ένα ασαφές υποσύνολο με θολές ακμές. Τα αντικείμενα που πέφτουν σε αυτές τις θολές άκρες ανήκουν στα καθορισμένα σύνολα μόνο με έναν ορισμένο βαθμό βεβαιότητας. Έτσι, για παράδειγμα, ένας δεκαεννιάχρονος άνδρας μπορεί να ταξινομηθεί με 50% βεβαιότητα μεταξύ πολλών νεαρών ανδρών, και με την ίδια βεβαιότητα - μεταξύ πολλών νέων.
Η συσκευή ασαφούς συνόλου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει διαδικασίες σκέψης, γλωσσικά φαινόμενα και γενικά για να μοντελοποιήσει την ανθρώπινη συμπεριφορά, στην οποία επιτρέπονται μερικές αλήθειες και ο αυστηρός μαθηματικός φορμαλισμός δεν είναι απολύτως απαραίτητος.
Τα σύνολα που αποτελούνται από πεπερασμένο αριθμό στοιχείων ονομάζονται πεπερασμένα σύνολα . Ο αριθμός των πεπερασμένων συνόλων περιλαμβάνει και το κενό σύνολο, δηλ. ένα σύνολο που δεν περιέχει ούτε ένα στοιχείο. Η εισαγωγή της έννοιας του κενού συνόλου οφείλεται στο γεγονός ότι, ορίζοντας ένα σύνολο με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, δεν μπορούμε να γνωρίζουμε εκ των προτέρων εάν περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο. Για παράδειγμα, υπάρχουν πολλοί άριστοι μαθητές σε οποιαδήποτε ακαδημαϊκή ομάδα.
Τα σύνολα που λαμβάνονται υπόψη κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων ασχολούνται συνήθως με πεπερασμένα σύνολα αντικειμένων. Παραδείγματα άπειρων συνόλων περιλαμβάνουν σύνολα που εξετάζονται στα μαθηματικά: το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών ( Ν ) και το σύνολο όλων των ακεραίων ( Ζ ).
Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα-
Ανοιχτό μάθημα με θέμα: "Πλήθη. Υποσύνολα.Λειτουργίες σε σετ"
5η τάξηΚαθηγητές μαθηματικών
Sychuk V.D.Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα - Λύκειο Νο 2
G.Saratov - 2008
Μάθημα: Σετ. Υποσύνολα. Λειτουργίες σε σετ.
Ο σκοπός του μαθήματος: 1) επαναλάβετε τις βασικές έννοιες του συνόλου, του υποσυνόλου,
Λειτουργίες σε σύνολα·
2)ανάπτυξη λογικής σκέψης μέσω λύσης μη τυπικές εργασίες, συστηματοποίηση και γενίκευση, ανάπτυξη μαθηματικού λόγου3) ενθάρρυνση της προσοχής, του ενδιαφέροντος για το θέμα,
Διευρύνοντας τους ορίζοντές σας.
Τύπος μαθήματος: επανάληψη και γενίκευση.
Μέθοδος διδασκαλίας: διδακτικό παιχνίδι – διαγωνισμός.
Τρόπος οργάνωσης δραστηριοτήτων: μερική αναζήτηση.
Εξοπλισμός: 1) διαδραστικός πίνακας.
2) κάρτες με εργασίες για ανεξάρτητη εργασία
Και καθήκοντα?
3) κάρτες με ατομικές εργασίες.
Σχεδιασμός τάξης: 1η διαφάνεια: Αριθμός, θέμα, επιγραφή."Πολλαπλά είναι πολλά πράγματα που μπορούν να θεωρηθούν ως ένα ενιαίο σύνολο"Γκέοργκ Κάντορ.Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.
Εγώ. Οργάνωση.Ζέσταμα.
Διαγωνισμός θεωρητικών (3 άτομα ανεξάρτητα, χρησιμοποιώντας κάρτες στον πίνακα).
Ανεξάρτητη εργασία με αμοιβαίο έλεγχο.
Επίλυση του προβλήματος (συλλογικά).
Εργασία για το σπίτι.
Περίληψη μαθήματος.
Αναφέρετε το θέμα του μαθήματος, επίγραφο, σχέδιο μαθήματος.
Η τάξη χωρίζεται σε δύο ομάδες (ανάλογα με τις επιλογές)
Προϋποθέσεις του παιχνιδιού: 1) Σαφείς και ακριβείς απαντήσεις.
2) Ταχύτητα?
3) Πειθαρχία.
Η απάντηση του δασκάλου: "Και αφήστε τον πιο έξυπνο να κερδίσει σε αυτόν τον αγώνα!"
II. Ζέσταμα.
1.Τι σημαίνει η λέξη «πολλά»;
Ένα σύνολο είναι ένα σύνολο ή συλλογή αντικειμένων της ίδιας φύσης.
2. Ποια ονόματα χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν σύνολα;
Αγέλη, αγέλη, ομάδα, οικογένεια, ορχήστρα, βιβλιοθήκη.
3. Πώς διαφέρουν τα σύνολα στον αριθμό των στοιχείων;
Υπάρχουν πεπερασμένα, άπειρα και κενά σύνολα.
4. Με ποιους τρόπους μπορείτε να ορίσετε ένα σύνολο;
Ένα σύνολο μπορεί να καθοριστεί με απαρίθμηση ή χρησιμοποιώντας μια χαρακτηριστική ιδιότητα.
5.Ποια ιδιότητα ονομάζεται χαρακτηριστική ιδιότητα;
Μια χαρακτηριστική ιδιότητα είναι μια ιδιότητα που κατέχεται από όλα τα στοιχεία ενός δεδομένου συνόλου και δεν κατέχεται από άλλα αντικείμενα.
Σε ένα δεδομένο σύνολο, όλα τα στοιχεία εκτός από ένα έχουν κάποιες ιδιότητες.
Περιγράψτε το και βρείτε το επιπλέον στοιχείο.
A= x Εγώ x - έρημος
Έξτρα στοιχείο - νούφαρο.
7. 3η διαφάνεια :
Τι είναι ένα υποσύνολο του συνόλου Α;
-Ένα σύνολο Β ονομάζεται υποσύνολο του συνόλου Α εάν κάθε στοιχείο του συνόλου Β είναι στοιχείο του συνόλου Α.
8. 4η διαφάνεια:
9.Τι ονομάζεται τομή των συνόλων Α και Β;
Η τομή των συνόλων Α και Β είναι ένα σύνολο που περιλαμβάνει εκείνα και μόνο εκείνα τα στοιχεία που περιέχονται στο Α και στο Β ταυτόχρονα.
10.Τι λέγεται η ένωση των συνόλων Α και Β;
Η ένωση των συνόλων Α και Β είναι ένα σύνολο που αποτελείται από εκείνα τα στοιχεία που περιλαμβάνονται σε τουλάχιστον ένα από τα σύνολα Α ή Β.
11. 5η διαφάνεια: Να βρείτε την τομή των γεωμετρικών σχημάτων
12. 6η διαφάνεια:
III. Διαγωνισμός θεωρητικών
Καλούνται 3 άτομα και εργάζονται με κάρτες.
Κάρτα #1
Ο Γουίνι το Αρκουδάκι και το Γουρουνάκι ήρθαν να επισκεφτούν το Κουνέλι. Το κουνέλι τους κέρασε μαρμελάδα. Ο Winnie the Pooh και το Piglet έφαγαν 32 κουταλιές μαρμελάδα μαζί και ο Winnie the Pooh και το Rabbit – 23 κουταλιές μαρμελάδα.
Πόσες κουταλιές μαρμελάδα έφαγαν και οι τρεις ήρωες;
Κάρτα #2
A= x│хє N; 2≤х≤7
В= x│хє N; 4≤х≤9
Ορισμός συνόλων με απαρίθμηση. Βρες ένα UΣΕ; Α Β; A\B; V\A. Σχεδιάστε τη λύση σε μια αριθμητική ευθεία.
Κάρτα Νο. 3
Καταγράψτε όλα τα υποσύνολα του συνόλουένα;β;γ;δ.
Στη σκηνή κρέμονταν 5 λάμπες. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να φωτίσετε μια σκηνή;
IV. Διαγωνισμός «Ποιος είναι πιο γρήγορος». Ανεξάρτητη εργασία
Ανεξάρτητη εργασία με χρήση καρτών.
Αρχεία με εργασίες σε δύο εκδόσεις βρίσκονται σε κάθε γραφείο.
Μετά από 7 λεπτά, τα παιδιά ανταλλάσσουν σημειωματάρια και συγκρίνουν τις απαντήσεις με τις λύσεις στον διαδραστικό πίνακα.
Διαφάνεια 7:
Βαθμολογία "5" - χωρίς σφάλματα
"4" - ένα σφάλμα
"3" - δεν έχει οριστεί
8η διαφάνεια:
Λύση: Ας υποδηλώσουμε το κόστος μιας αγελάδας - n(A), πρόβατα – n(B), κατσίκες – n(C) χοίροι –n(D)
n (A U B U C U D)=1325 ρούβλια
n (B U C U D) = 425 ρούβλια
n(A U D U B)= 1225 ρούβλια
n (C U D)=275 ρούβλια
1.n(A)=n(A U B U C U D)- n(B U C U D)=1325-425=900 ρούβλια - το κόστος μιας αγελάδας
2.n(C)= n(A U B U C U D)- n(A U D U B)=1325-1225=100 ρούβλια - το κόστος μιας κατσίκας
3.n(B)= n(B U C U D)- n(C U D)=425- 275=150 ρούβλια - το κόστος ενός προβάτου
4.n(D)= n(C U D)-n(C)=275-100=175 ρούβλια - το κόστος ενός χοίρου
Απάντηση: μια αγελάδα κοστίζει 900 ρούβλια, μια κατσίκα κοστίζει 100 ρούβλια, ένα πρόβατο κοστίζει 150 ρούβλια, ένα γουρούνι κοστίζει 17
Πρόσθετη εργασία:9η διαφάνεια:
VII.Αποτελέσματα του παιχνιδιού Το συμπέρασμα συνοψίζει τα αποτελέσματα.Η εργασία είναι γραμμένη εκ των προτέρων στον πίνακα:Δημιουργήστε προβλήματα για 1) τομή και συνδυασμό γεωμετρικών σχημάτων, 2) πριόνισμα. 3) προσδιορίζοντας σύνολα και υποσύνολα χρησιμοποιώντας χαρακτηριστικές ιδιότητες.
Κι όμως η φιλία κέρδισε.
Ευχαριστώ για το μάθημα παιδιά!
Σχέδιο - περίληψη μαθήματος
"Ενα μάτσο. Αριθμός στοιχείων του συνόλου. Υποσύνολο"
Στόχοι μαθήματος:
Εκπαιδευτικός I: εισάγω τις έννοιες «σύνολο», «στοιχείο ενός συνόλου», «υποσύνολο». διδάσκουν να προσδιορίζουν τον αριθμό των στοιχείων ενός συνόλου. μάθουν να προσδιορίζουν αν τα στοιχεία ανήκουν σε ένα σύνολο και στο υποσύνολο του.
Αναπτυξιακή: ανάπτυξη λογικής σκέψης, προσοχής, φαντασίας, ικανότητας ανάλυσης, σύγκρισης, γενίκευσης.
Εκπαιδεύοντας: να καλλιεργήσει το ενδιαφέρον των μαθητών για το αντικείμενο και τις επικοινωνιακές δεξιότητες.
Βιβλιογραφία:
Για τον δάσκαλο:
Goryachev A.V., «Πληροφορική σε παιχνίδια και εργασίες. 3η τάξη. Μεθοδολογικές συστάσεις για εκπαιδευτικούς».
Για τους μαθητές:
Goryachev A.V., «Πληροφορική σε παιχνίδια και εργασίες. Γ' τάξη."
Τύπος μαθήματος : εισαγωγή στο νέο υλικό
Πλάνο μαθήματος:
Οργανωτικό στάδιο.
Έλεγχος εργασιών για το σπίτι.
Το στάδιο της απόκτησης νέας γνώσης.
Το στάδιο της ενοποίησης νέου υλικού.
Στάδιο γενίκευσης της γνώσης.
Αντανάκλαση.
Εργασία για το σπίτι.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
Οργανωτικό στάδιο.
Χαιρετίσματα.
Το μάθημα ξεκινά
Θα είναι χρήσιμος στα παιδιά
Προσπαθήστε να καταλάβετε τα πάντα
Ενδιαφέρον να γνωρίζεις.
Έλεγχος εργασιών για το σπίτι.
Εργασία 45.
Το στάδιο της απόκτησης νέας γνώσης.
Παιδιά, στα μαθήματα επιστήμης των υπολογιστών έχετε ήδη μάθει να περιγράφετε τη σύνθεση των αντικειμένων, να επισημαίνετε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους και να απαντάτε στις ερωτήσεις "Τι είναι αυτό;" και ποιος είναι αυτός?" Μάθαμε επίσης να απαντάμε στην ερώτηση "Πώς γίνεται αυτό;" δημιουργώντας έναν αλγόριθμο. Υπάρχουν όμως και άλλες ερωτήσεις στις οποίες πρέπει να είστε σε θέση να απαντήσετε. Για παράδειγμα, πώς να προσδιορίσετε εάν ένα αντικείμενο ανήκει σε μια δεδομένη ομάδα; Και για να μάθουμε πώς να απαντήσουμε σε αυτή την ερώτηση, ας λύσουμε πρώτα τους γρίφους.
Λατρεύει το μέλι
Το χειμώνα κοιμάται
Καλή όρεξη την άνοιξη! Αυτή είναι μια αρκούδα.
Γερά χτισμένο και κοντό,
Υπάρχει ένα δυνατό κέρατο στη μύτη,
Ποιος τολμά να τον πειράξει;
Θα τον γαντζώσει στο κέρατό του. Ρινόκερως
Κάθεται μόνος του σε ένα κλαδί,
Αιχμηρά μάτια και επίμονα νύχια,
Θα νικούσα τους πάντες σε χρόνο μηδέν,
Γιατί είναι... αετός.
Φτιάχνει τη φωλιά του στο χωράφι,
Εκεί που μεγαλώνουν τα φυτά.
Τα τραγούδια του και η πτήση
Εισάγετε τα ποιήματα! Αυτός είναι ένας κορυδαλλός.
Χαριτωμένο, γκρι, μουστάκι,
Η ουρά του είναι ριγέ.
Δεν δαγκώνει βρώμικα τρόφιμα -
Πλένει τα πάντα στο νερό... ένα ρακούν.
Κοιμάται τη μέρα, πετάει τη νύχτα,
Ξεσηκώνει και τρομάζει τους ανθρώπους.
Τα μάτια λάμπουν στο σκοτάδι -
Είναι τρόμος για όλα τα ποντίκια. Αυτή είναι η Κουκουβάγια.
Είναι με ουρά και μουστακάκι,
Και, φυσικά, ριγέ.
Ρρρρρ, - γρυλίζει, - δεν έχω χρόνο για παιχνίδια.
Ποιος είναι αυτός, παιδιά; … τίγρη.
Αυτό το πουλί είναι γνωστό σε όλους -
Είναι σημαντικό να περπατάτε κοντά στο σπίτι
Ο Καρ-Καρ-Καρ ουρλιάζει ξαφνικά,
Και θα πετάξει ήρεμα. Κοράκι.
Δεν πληγώνει τους άλλους.
Τρώει γρασίδι, περπατά στο δάσος,
Αλλά με διακλαδισμένα κέρατα
Μπορεί να χειριστεί τους λύκους! Αυτό είναι ένα ελάφι.
Πώς μπορούμε να διαχωρίσουμε αυτά τα αντικείμενα; Σε γενική βάση. Η μία ομάδα θα περιέχει ζώα και η άλλη θα περιέχει πουλιά.
Τώρα κοιτάξτε - μπορείτε να σχηματίσετε μια λέξη από τα πρώτα γράμματα. Οι οποίες? Η λέξη «Πολλαπλός». Και αυτή είναι μια πολύ σημαντική λέξη για το μάθημά μας!
Ένα σύνολο νοείται ως ένωση αντικειμένων που βασίζεται σε κάποιες κοινές ιδιότητες ή χαρακτηριστικά.
Για να μάθετε εάν ένα αντικείμενο ανήκει σε ένα δεδομένο σύνολο ή όχι, αρκεί να προσδιορίσετε ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα με το οποίο μπορεί κανείς να προσδιορίσει με ακρίβεια ότι αυτό το αντικείμενο μπορεί να συμπεριληφθεί σε ένα δεδομένο σύνολο. Ένα άλλο αντικείμενο που δεν έχει αυτή τη δυνατότητα δεν μπορεί να συμπεριληφθεί σε αυτό το σύνολο.
Κοιτάζοντας τις δύο ομάδες μας, μπορούμε να πούμε ότι έχουμε δύο σετ: ένα σύνολο ζώων και ένα σύνολο πουλιών.
Ποια αντικείμενα περιλαμβάνονται σε αυτά τα σετ;
Το πρώτο σετ περιλαμβάνει: αρκούδα, ρακούν, ελάφι, ρινόκερος, τίγρη.
Στο δεύτερο σετ: αετός, κορυδαλλός, κουκουβάγια, κοράκι.
Τα αντικείμενα που ανήκουν σε ένα σύνολο ονομάζονται στοιχεία του συνόλου.
Από ποια λέξη πιστεύετε ότι προέρχεται το όνομα «πολλαπλός»; Πολλά απο.
Πόσο είναι πάρα πολύ; Δεν μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι ένα σύνολο μπορεί να έχει οποιοδήποτε αριθμό στοιχείων, ακόμη και ένα στοιχείο. Μπορεί να υπάρχει ένας απείρως μεγάλος αριθμός στοιχείων, για παράδειγμα, ένα σύνολο αριθμών. Μπορεί επίσης να συμβεί να μην υπάρχει ούτε ένα στοιχείο στο σετ. Ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται κενό. Για παράδειγμα, ένα σύνολο αριθμών που διαιρούνται με το μηδέν. Γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχουν αριθμοί που να διαιρούνται με το μηδέν, γιατί δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν.
Τα σετ μπορεί να είναι πολύ διαφορετικά: παιδιά που περπατούν στο πάρκο, πολλά παραμύθια Πούσκιν, πολλοί μαθητές που εξασκούνται στο χορό, πολλές σελίδες σε ένα βιβλίο κ.λπ.
Πόσα στοιχεία υπάρχουν στα σετ μας; Σε ένα πλήθος ζώων υπάρχουν πέντε, και σε ένα πλήθος πτηνών υπάρχουν τέσσερα.
Πώς μπορούμε να σημειώσουμε αντικείμενα σε αφθονία χωρίς να σχεδιάζουμε συνεχώς εικόνες; Και θα σημειώσουμε αντικείμενα με τελείες.
Έτσι, στο σύνολο των ζώων μας υπάρχουν πέντε αντικείμενα, που σημαίνει ότι βάζουμε πέντε σημεία: ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε.
Πώς μπορείτε να δείξετε ότι μαζί αποτελούν ένα σύνολο; Κυκλώστε τα.
Τώρα κάνουμε το ίδιο για πολλά πουλιά. Βάζουμε τέσσερις τελείες και τις κυκλώνουμε.
Λοιπόν, παιδιά, έχουμε ένα σύνολο ζώων, το οποίο περιλαμβάνει πέντε στοιχεία και ένα σύνολο πουλιών, αυτό το σετ περιλαμβάνει τέσσερα στοιχεία.
Το στάδιο της ενοποίησης νέου υλικού.
Τώρα πρέπει να τοποθετήσετε αντικείμενα σε σετ.
Αρχικά, ας διαβάσουμε τα ονόματα των στοιχείων των συνόλων: πεύκο, μηλιά, ερυθρελάτη, κερασιά, δρυς, χαμομήλι.
Τώρα ας διαβάσουμε τα ονόματα των συνόλων: δέντρα, οπωροφόρα δέντρα, φυτά.
Ποιο σχήμα αντιπροσωπεύει πολλά οπωροφόρα δέντρα; Ολόγυρα.
Ποια στοιχεία θα συμπεριληφθούν σε αυτό το σετ; Μηλιά, κερασιά.
Ας μετακινήσουμε τα ονόματα των στοιχείων σε έναν κύκλο.
Τώρα ας γράψουμε τα στοιχεία ενός συνόλου δέντρων.
Πεύκο, μηλιά, ερυθρελάτη, κερασιά, δρυς. Ας τα χωρέσουμε σε ένα τετράγωνο.
Πώς συνέβη το μήλο και το κεράσι να περιλαμβάνονται και στα δύο σετ;
Η μηλιά και η κερασιά είναι οπωροφόρα δέντρα. Όλα τα οπωροφόρα δέντρα περιλαμβάνονται σε πολλά δέντρα.
Ποιο σύνολο είναι μεγαλύτερο: οπωροφόρα δέντρα ή όλα τα δέντρα;
Το σύνολο των δέντρων είναι μεγαλύτερο, αφού περιλαμβάνει όλα τα οπωροφόρα δέντρα αλλά και τα υπόλοιπα δέντρα.
Αποδεικνύεται ότι εάν ΟΛΑ τα στοιχεία ενός συνόλου περιλαμβάνονται σε ένα άλλο μεγαλύτερο σύνολο, τότε το πρώτο είναι υποσύνολο του δεύτερου. Αυτό σημαίνει ότι στο σύνολο των δέντρων υπάρχει ένα υποσύνολο οπωροφόρων δέντρων.
Ωστόσο, υπάρχει ένα άλλο σύνολο - φυτά. Ας ονομάσουμε τα στοιχεία του. Αυτά είναι όλα τα στοιχεία της λίστας: πεύκο, μήλο, έλατο, κεράσι, δρυς, χαμομήλι. - είναι όλα φυτά.
Παιδιά, αποδεικνύεται ότι αυτό το σετ είναι ακόμα μεγαλύτερο: περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία από τα προηγούμενα σετ και επίσης ένα χαμομήλι. Ας γράψουμε αυτά τα στοιχεία σε ένα ορθογώνιο.
Σκεφτείτε τι συνέβη. Υπάρχει μια μεγάλη ποικιλία φυτών, τα οποία περιλαμβάνουν το χαμομήλι και ένα υποσύνολο των «Δέντρων». Και το υποσύνολο Δέντρα περιλαμβάνει το υποσύνολο Fruit Trees.
Και τώρα σας προτείνω να φτιάξετε μια πυραμίδα από σύνολα. Τέσσερα στοιχεία θα κατοικούν στον πρώτο όροφο, τρία στον δεύτερο και δύο στον τρίτο. Ένα στοιχείο θα μένει στον τέταρτο όροφο, αλλά κανείς δεν θα μένει στη σοφίτα. Ας δούμε τι σετ είναι αυτά και ας τα τοποθετήσουμε σε πατώματα, ώστε σε κάθε όροφο να υπάρχει ένα σετ με τον αντίστοιχο αριθμό στοιχείων.
Ετσι! Σύμφωνα με τη λέξη "πυραμίδα". Πόσα σύμφωνα υπάρχουν στη λέξη "πυραμίδα"; Τέσσερα. Αυτό σημαίνει ότι θα τοποθετήσουμε αυτό το σετ στο πάτωμα όπου θα κατοικούν τέσσερα στοιχεία.
Φτερά ενός πουλιού. Το πουλί έχει δύο φτερά, οπότε το τοποθετούμε εκεί που είναι τα δύο στοιχεία.
Μαθητές της δέκατης έκτης τάξης. Δέκατη έκτη δημοτικού; Χμ, αυτό είναι ένα άδειο σετ, δεν υπάρχει 16η τάξη στο σχολείο. Το βάζουμε στη σοφίτα.
Χειμερινοί μήνες. Είναι τρεις από αυτούς. Το τοποθετούμε στον δεύτερο όροφο.
Φωνήεντα στη λέξη «κέικ». Σε αυτή τη λέξη, ένα φωνήεν είναι το γράμμα ο. Το τοποθετούμε στον τέταρτο όροφο.
Τα πλήθη τοποθετούνται στις θέσεις τους. Και η πυραμίδα είναι έτοιμη!
Κάρτες εργασιών.
Εργασίες 1, 3 από το σχολικό βιβλίο.
Στάδιο γενίκευσης της γνώσης.
Ένα σύνολο είναι μια ένωση αντικειμένων που βασίζεται σε ορισμένες κοινές ιδιότητες ή χαρακτηριστικά.
Πόσα στοιχεία μπορεί να υπάρχουν σε ένα σύνολο; Όσο γουστάρεις. Και ένα, και δύο, και άπειρα πολλά, και μάλιστα ούτε ένα. Ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται κενό.
Και μάθατε επίσης ότι υπάρχει ένα σύνολο που περιλαμβάνεται σε ένα άλλο σύνολο και ονομάζεται υποσύνολο.
Αντανάκλαση.
"Ευχαριστώ…".
Στο τέλος του μαθήματος, ο δάσκαλος καλεί κάθε μαθητή να επιλέξει μόνο ένα από τα παιδιά στο οποίο θα ήθελε να ευχαριστήσει για τη συνεργασία και να εξηγήσει πώς ακριβώς εκδηλώθηκε αυτή η συνεργασία. Οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να αποκλειστούν από τους επιλεγέντες. Το ευχαριστώ του δασκάλου είναι το τελευταίο. Ταυτόχρονα, επιλέγει αυτούς που έλαβαν τα λιγότερα κομπλιμέντα, προσπαθώντας να βρει πειστικά λόγια ευγνωμοσύνης σε αυτόν τον συμμετέχοντα στις εκδηλώσεις.
Εργασία για το σπίτι.
Πίσω μπροστά
Προσοχή! Οι προεπισκοπήσεις διαφανειών είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύουν όλα τα χαρακτηριστικά της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.
Στόχοι μαθήματος:συνοψίζουν και συστηματοποιούν τις γνώσεις των μαθητών για το θέμα «Σύνολα. Λειτουργίες σε σύνολα» με χρήση τεχνολογιών πολυμέσων.
Στόχοι μαθήματος:
- Εκπαιδευτικός:
- παγίωση της θεωρητικής γνώσης: η έννοια ενός συνόλου, ενός στοιχείου ενός συνόλου, τύποι συνόλων, σχέσεις μεταξύ συνόλων, πράξεις σε σύνολα.
- να αναπτύξει την ικανότητα εφαρμογής της αποκτηθείσας θεωρητικής γνώσης για τον ορισμό ενός συνόλου και των στοιχείων του, την ικανότητα να χαρακτηρίζει ένα σύνολο, να εκτελεί ενέργειες σε σύνολα (ένωση και τομή), να απεικονίζει σύνολα χρησιμοποιώντας διαγράμματα Euler-Venn, να εφαρμόζει αυτή τη γνώση για την επίλυση εφαρμοζόμενων προβλήματα?
- ανάπτυξη ικανοτήτων πληροφόρησης και επικοινωνίας·
- Εκπαιδευτικός:
- να αναπτύξουν το γνωστικό ενδιαφέρον, τις πνευματικές και δημιουργικές ικανότητες των μαθητών.
- να διαμορφώσει μια κουλτούρα πληροφοριών, δεξιότητες ελέγχου και αυτοελέγχου.
- πραγματοποιούν ερευνητικές δραστηριότητες.
- Εκπαιδευτικός:
- διδάσκουν ανεξάρτητες δραστηριότητες για την απόκτηση γνώσεων.
- να σχηματίσουν συνειδητά κίνητρα για μάθηση, αυτοβελτίωση, αυτοεκπαίδευση.
- καλλιεργούν αφοσίωση και επιμονή στην επίτευξη των στόχων.
- ενθαρρύνει την αμοιβαία βοήθεια.
ZUN + εμπειρία.Οι τεχνολογίες πολυμέσων σάς επιτρέπουν να εργάζεστε με ατομικό ρυθμό, να εφαρμόζετε μια διαφοροποιημένη προσέγγιση, να βοηθάτε στην εδραίωση της αποκτηθείσας γνώσης και επίσης να ενεργείτε ως πηγή πρόσθετων πληροφοριών για το θέμα. Η χρήση υποστηρικτικών σημειώσεων στο μάθημα - θραύσματα βιβλίων εργασίας για μαθητές σας επιτρέπει να βελτιώσετε τις δεξιότητες ελέγχου και αυτοελέγχου ως τρόπο αυτοοργάνωσης της εργασίας και αυτοεκπαίδευσης.
Κατά τη διάρκεια του μαθήματος οι μαθητές:
- συστηματοποιούν τις γνώσεις τους σχετικά με αυτό το θέμα·
- θα εδραιώσει τη θεωρητική γνώση: η έννοια ενός συνόλου, ενός στοιχείου ενός συνόλου, τύποι συνόλων, σχέσεις μεταξύ συνόλων, πράξεις σε σύνολα.
- θα εδραιώσει την ικανότητα εφαρμογής της αποκτηθείσας θεωρητικής γνώσης·
- θα πραγματοποιήσει ερευνητικές δραστηριότητες.
Εξοπλισμός μαθήματος.Η/Υ καθηγητή, προβολέας πολυμέσων, προσωπικοί υπολογιστές μαθητών.
Λογισμικό: MS PowerPoint (2007). παρουσίαση" Πλήθη. Ορισμός Λειτουργιών», σημειώσεις αναφοράς για μαθητές.
Η παρουσίαση απεικονίζει το κύριο στοιχείο πληροφοριών του μαθήματος σχετικά με το θέμα " Πλήθη. Ορισμός Λειτουργιών», περιέχει εργασίες για ανεξάρτητη εργασία και ψυχαγωγικές εργασίες.
Βήματα μαθήματος
Ι. Επανάληψη και εμπέδωση θεωρητικών γνώσεων
Στην αρχή του μαθήματος, οι γνώσεις, οι δεξιότητες και οι ικανότητες ενημερώνονται: οι μαθητές επαναλαμβάνουν τις βασικές έννοιες της θεωρίας συνόλων. Οι απαντήσεις των μαθητών συνοδεύονται από παρουσίαση διαφανειών παρουσίασης με σαφή διατύπωση και ορισμούς. (Διαφάνειες 1, 2, 4, 5, 6)
II. Ιστορική αναφορά
Ως πρόσθετο υλικό, μπορείτε να προσκαλέσετε τους μαθητές να προετοιμάσουν υλικό για τον ιδρυτή της θεωρίας συνόλων Gheorghe Cantore(διαφάνεια 6) και Λέονχαρντ Όιλερ- Ελβετός, Γερμανός και Ρώσος μαθηματικός, ο οποίος συνέβαλε σημαντικά στην ανάπτυξη των μαθηματικών, καθώς και της μηχανικής, της φυσικής, της αστρονομίας και ορισμένων εφαρμοσμένων επιστημών (διαφάνεια 28). (ως εργασία για το μάθημα).
III. Εργαστήριο επίλυσης ασκήσεων
Αυτό το μάθημα είναι το τελευταίο στο στάδιο της μελέτης του θέματος «Θεωρία Συνόλων». Καθώς προχωρά το μάθημα, οι μαθητές καλούνται να ολοκληρώσουν διάφορες εργασίες σχετικά με το θέμα, οι οποίες ολοκληρώνονται σε προετοιμασμένα τμήματα από βιβλία εργασίας ( Παράρτημα 1
), εν μέρει με επαλήθευση και συζήτηση. Στο στάδιο της εφαρμογής της θεωρητικής γνώσης για την επίλυση προβλημάτων, εμφανίζονται διαφάνειες με προϋποθέσεις για προφορική και γραπτή λύση ασκήσεων, συζητούνται αλγόριθμοι επίλυσης, για τον έλεγχο και την ανάπτυξη δεξιοτήτων αυτοελέγχου, παρουσιάζονται διαφάνειες με απαντήσεις και επεξηγήσεις.
Εάν οι πρώτες ασκήσεις απαιτούν από τους μαθητές να γνωρίζουν τον ορισμό ενός συνόλου και των στοιχείων του, την ικανότητα να χαρακτηρίζουν ένα σύνολο, να εκτελούν πράξεις σε σύνολα (ένωση και τομή) και να απεικονίζουν σύνολα χρησιμοποιώντας διαγράμματα Euler-Venn, τότε οι επόμενες ασκήσεις απαιτούν τη χρήση αυτής της γνώσης για την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων. Το δεύτερο μέρος του μαθήματος είναι αφιερωμένο στην επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων, επιδεικνύοντας τον πιο ορθολογικό τρόπο επίλυσης χρησιμοποιώντας τη θεωρία συνόλων. (Διαφάνειες 29-39)
IV. Έλεγχος γνώσεων και δεξιοτήτων
Το πιο σημαντικό στάδιο του μαθήματος. Οι μαθητές εργάζονται σε τετράδια καθ' όλη τη διάρκεια του μαθήματος, ολοκληρώνοντας τις προτεινόμενες εργασίες. Εν μέρει κατά τη διάρκεια του μαθήματος ελέγχεται η ολοκλήρωση μέρους των ασκήσεων και συζητείται η μέθοδος επίλυσης, εντοπίζονται κενά και διορθώνονται οι γνώσεις. Στα τελευταία στάδια του μαθήματος δίνεται η ευκαιρία στους μαθητές να εφαρμόσουν, ως μέρος της ανεξάρτητης εργασίας, τις γνώσεις και τις δεξιότητες που απέκτησαν στα προηγούμενα στάδια και τη συσσωρευμένη εμπειρία. Οι μαθητές καλούνται να ολοκληρώσουν ένα μέρος των εργασιών ανεξάρτητα και στο τέλος του μαθήματος να αξιολογήσουν την εργασία τους.
V. Αναστοχασμός στις δραστηριότητες στο μάθημα
Βαθμολογήστε τη συμμετοχή σας στην εργασία στην τάξη με 10 βαθμούς
κλίμακα: 0/________________/10 σύμφωνα με κριτήρια αυτοαξιολόγησης.
ΑΥΤΟΕΚΤΙΜΗΣΗ
10 – Γνωρίζω καλά όλο το πραγματικό υλικό και συμμετείχα στην οργάνωση της ομάδας.
9 – Γνωρίζω καλά την ερώτησή μου και συμμετείχα στην εργασία στην τάξη.
8 – Γνωρίζω καλά όλο το πραγματικό υλικό.
7 – Γνωρίζω καλά την ερώτησή μου.
6 – Ξέρω την ερώτησή μου.
5 – Ξέρω την ερώτησή μου, αλλά ήμουν παθητικός.
4 – Δεν γνωρίζω καλά την ερώτησή μου, αλλά ήμουν ενεργός στη συζήτηση άλλων θεμάτων.
3 – Δεν ξέρω καλά την ερώτησή μου και ήμουν παθητική.
1.2 – Δεν ξέρω την ερώτησή μου και ήμουν παθητικός.
Αξιολόγηση της αξίας του μαθήματος με τη χρήση της Φόρμας Αναστοχαστικής Αξιολόγησης.
Φόρμα στοχαστικής αξιολόγησης
Αγαπητέ σπουδαστή! Προκειμένου η εκπαίδευση να σας φέρει περισσότερο όφελος, χαρά και υγεία, σας ζητάμε να εκφράσετε τη γνώμη σας για αυτό το μάθημα απαντώντας στις ερωτήσεις αυτού του ερωτηματολογίου. Διαβάστε προσεκτικά τις δηλώσεις και τις προτεινόμενες επιλογές απαντήσεων, επιλέξτε την καταλληλότερη και βάλτε την δίπλα της; ραβδί? (\). Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων για τις ειλικρινείς και ακριβείς απαντήσεις σας.
Συζήτηση με τους μαθητές ποιο μάθημα θεωρούν πιο αποτελεσματικό - κανονικό ή ηλεκτρονικό, στο οποίο πέτυχαν καλύτερα αποτελέσματα: έμαθαν περισσότερα, αποφάσισαν περισσότερα.
VI. συμπέρασμα
Η παρουσίαση είναι η πιο επιτυχημένη μορφή παρουσίασης υλικού πολυμέσων. Η χρήση μιας παρουσίασης σε αυτό το μάθημα σάς επιτρέπει να συνοψίσετε το υλικό που μελετήθηκε, να επιδείξετε μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας τη θεωρία συνόλων, διαγράμματα Euler, να δείξετε τη βήμα προς βήμα επίλυση εφαρμοζόμενων προβλημάτων και τα πλεονεκτήματα της χρήσης μιας μεθόδου γραφικής λύσης. Αυτό είναι όλο, προκαλεί ενδιαφέρον, ενεργοποιεί τη μνήμη, εξασφαλίζει πιο αποτελεσματική αφομοίωση του υλικού, καθιστά δυνατή την οργάνωση ενδιαφέρουσας ανεξάρτητης εργασίας, αναπτύσσει τη φαντασία και βοηθά στην εδραίωση εκπαιδευτικού υλικού.
Το μάθημα προχωρά με γρήγορους ρυθμούς, η εξοικονόμηση χρόνου σάς επιτρέπει να ολοκληρώσετε μια μεγάλη ποικιλία εργασιών: εξετάστε τους τύπους των συνόλων, τις σχέσεις μεταξύ των συνόλων (δεν έχουν κοινά στοιχεία, είναι υποσύνολο, είστε ίσοι, έχετε κοινά στοιχεία), οργανώστε η εργασία των μαθητών σε επίπεδο αντίστοιχο με το επίπεδο της ήδη διαμορφωμένης γνώσης.
Αυτό το ηλεκτρονικό υλικό μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο στην τάξη όσο και σε εξωσχολικές δραστηριότητες. Η παρουσίαση χρησιμοποιείται από τους μαθητές για να επαναλάβουν ανεξάρτητα, να εμπεδώσουν ή να εμβαθύνουν τις γνώσεις τους στο θέμα «Θεωρία Συνόλων». Αυτό είναι ιδιαίτερα βολικό για μαθητές που έχουν δικαιολογημένες απουσίες και θέλουν να καλύψουν κενά στις γνώσεις τους.
Πηγές και βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκαν:
- Spirina M.S., Spirin P.A.Διακριτά Μαθηματικά. – Μ.: Εκδοτικό Κέντρο «Ακαδημία», 2011.
- Vilenkin N.Ya.Ιστορίες για πλήθη. – Μ.: Nauka, 1965.
- Zharkovskaya N.A. Georg Cantor και θεωρία συνόλων. //"Δρομέας. Διεθνής μαθηματικός διαγωνισμός-παιχνίδι "Καγκουρό"". 2011, τεύχος 5
- Tyurin Yu.N.και άλλοι Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική, Μόσχα, MCNMO, 2008.