Y = x 2yx 1 O y = (x-4) 2 y = (x+3) 2 επί 4 y = x 2 επί 3 y = x 2
Γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) Γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x-l): l μονάδες προς τα δεξιά αν l > 0 έως – l μονάδες προς τα αριστερά εάν l "> 0 έως – l μονάδες προς τα αριστερά εάν l "> 0 έως – l μονάδες προς τα αριστερά εάν l " title="Διαγράψτε γραφικά τη συνάρτηση y = f(x ) Γραφικές συναρτήσεις y = f(x-l): l μονάδες προς τα δεξιά, αν l >0 – l μονάδες προς τα αριστερά, αν l"> title="Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x-l): l μονάδες προς τα δεξιά, αν l >0 - l μονάδες προς τα αριστερά, αν l"> !}
Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x-l): l μονάδες προς τα δεξιά, αν l >0 - l μονάδες προς τα αριστερά, αν l 0 έως – l μονάδες προς τα αριστερά εάν l "> 0 έως – l μονάδες προς τα αριστερά εάν l "> 0 έως – l μονάδες προς τα αριστερά εάν l " title="Διαγράψτε γραφικά τη συνάρτηση y = f(x ) Γραφικές συναρτήσεις y = f(x-l): l μονάδες προς τα δεξιά, αν l >0 – l μονάδες προς τα αριστερά, αν l"> title="Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x-l): l μονάδες προς τα δεξιά, αν l >0 - l μονάδες προς τα αριστερά, αν l"> !}
Γράψτε την εξίσωση της παραβολής y = (x + l) 2 που φαίνεται στο σχήμα x 0 y y = (x – 2) 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ: -3
Γράψτε την εξίσωση της παραβολής y = (x + l) 2 που φαίνεται στο σχήμα x 0 y y = (x + 3) 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ: -3
Να γράψετε την εξίσωση της παραβολής y = (x + l) 2 που φαίνεται στο σχήμα x 0 y y = (x – 4) 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ: -3
Μάθημα «Πώς γράφουμε τη συνάρτηση y =φά(Χ+ μεγάλο)+ Μ, αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = είναι γνωστήφά(Χ).
8Α τάξη. Η δασκάλα Bobunova V.V. Δημοτικό εκπαιδευτικό ίδρυμα δευτεροβάθμιο σχολείο Νο. 1, Pugachev, περιοχή Saratov
Βασικό φροντιστήριο
Ο σκοπός του μαθήματος : επαναλάβετε τους κανόνες για την κατασκευή γραφημάτων των συναρτήσεων y=(x+l)και y=f(x)+m, αν είναι γνωστή η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=φά(Χ) εξετάστε τον κανόνα για την κατασκευή μιας γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης y= f(x+ μεγάλο)+ Μ, αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = είναι γνωστήφά(Χ) να αναπτύξουν την ικανότητα κατασκευής γραφημάτων διαφόρωνλειτουργίες.
Καθήκοντα:
εκπαιδευτικός:
- διδάξτε στους μαθητές να κατασκευάζουν μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y =f(x+l)+m, εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης y =f(x) είναι γνωστή. διδάξτε πώς να χρησιμοποιείτε αυτές τις μεθόδους κατά την εκτέλεση ασκήσεων. Βελτιώστε την ικανότητα κατασκευής γραφημάτων των συναρτήσεων y=f(x)+m και y=(x+l), εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) είναι γνωστή.
R εκπαιδευτικός:
- ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών στις ΤΠΕ κατά την ολοκλήρωση ανεξάρτητων εργασιών χρησιμοποιώντας ηλεκτρονικές εκπαιδευτικές πηγές· αναπτύξτε την ικανότητα να αιτιολογήσετε την απόφασή σας. να αναπτύξουν την ικανότητα ανάλυσης, σύγκρισης, γενίκευσης και συστηματοποίησης·
V εκπαιδευτικός:
να αναπτύξουν την ικανότητα να διεξάγουν ατομικές και ομαδικές συζητήσεις.
διαμόρφωση ευθύνης του καθενός για τα τελικά αποτελέσματα της εργασίας σε ζευγάρια, ηθική συμπεριφορά.
Τύπος μαθήματος -παρουσίαση νέου υλικού.
ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ:παραστατικός-λεκτικός (παραστατικό-λεκτικό και εν μέρει αναζήτηση).
Μορφές εργασίας – ατομικές(μπροστά, εργασία σε ζευγάρια)
Εξοπλισμός : Υπολογιστής, προβολέας πολυμέσων, οθόνη, παρουσίαση πολυμέσων για το μάθημα, φυλλάδια.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.
1. Οργανωτική στιγμή
, έλεγχος της εργασίας για το σπίτι. Ο δάσκαλος σαρώνει την εργασία ενός από τους μαθητές, τα δείχνει στην τάξη και οι μαθητές ελέγχουν την εργασία τους.
2. Ατομική εργασία
.
Σε τέσσερις μαθητές δίνονται κάρτες για ατομική εργασία στον πίνακα.
Κάρτα 1
Κατασκευάστε γραφήματα αυτών των συναρτήσεων:
,
, .
3. Επικαιροποίηση γνώσεων. Εργασία με γραφήματα συναρτήσεων. Γράψτε την εξίσωση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης που φαίνεται στο σχήμα (διαφάνειες 1-5).Όταν ελέγχετε την εργασία, θυμηθείτε τους κανόνες που έχουν ήδη μάθει για την κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων y= φά(Χ+ μεγάλο) και y=f(x)+m f(x) .
4. Επεξήγηση νέου υλικού.
Ανάθεση τάξης:
σε ένα επίπεδο συντεταγμένων, κατασκευάστε γραφήματα διακεκομμένης γραμμής των παρακάτω συναρτήσεων:y=x
2
, y=(x-2)
2
, y=x
2
-3.
Στη συνέχεια οι μαθητές καλούνται να κατασκευάσουν ανεξάρτητα μια γραφική παράσταση συνεχούς γραμμής της συνάρτησης y = (x-2) 2
-3. Γίνεται συζήτηση για την κατασκευή αυτού του γραφήματος και οι μαθητές καλούνται να διατυπώσουν έναν κανόνα για την κατασκευή ενός γραφήματος μιας συνάρτησης y=f(x+l)+m , αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι γνωστήφά(Χ)
.
Για να σχεδιάσετε μια συνάρτηση y= φά(Χ+
μεγάλο)+
Μ, αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι γνωστή y=f(x) , χρειάζεστε ένα γράφημα της συνάρτησης y= φά(Χ) κινούνται κατά μήκος του άξονα Χεπί / μεγάλο/
μονάδες προς τα δεξιά ανμεγάλοή αριστερά αν μεγάλο>0
, και στη συνέχεια μετακινήστε το γράφημα που προκύπτει κατά μήκος του άξονα y κατά /m/ μονάδες επάνω αν Μ>0, κάτω αν Μ.
Ανάθεση τάξης. Σε ποιο σημείο θα μετακινηθεί η κορυφή της παραβολής, που δίνεται από την εξίσωση:
1.y=(x+1)²-2
2. y = (x-7)²-4
3.y=4(x-2)²+8
4. y=0,5(x-3,5)²+6
Ερώτηση για την τάξη: «Είναι απαραίτητο να φτιάξουμε τρία γραφήματα γιασχεδιάζοντας τη συνάρτηση y =φά(Χ+
μεγάλο)+
Μ?
»
Μετά τη συζήτηση εξάγεται το συμπέρασμα: «Μάλιστα η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = (x - 2) 2
- 3 είναι η ίδια παραβολή που χρησίμευε ως γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2
,
μόνο η κορυφή της παραβολής έχει μετακινηθεί από την αρχή στο σημείο (2; -3). Επομένως, για να την κατασκευάσετε, πρέπει να μετακινήσετε το σύστημα συντεταγμένων στο σημείο (2; -3) και στο νέο σύστημα συντεταγμένων, να κατασκευάσετε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x 2
.
5. Ενοποίηση νέου υλικού.
Μετωπική εργασία με πλήρη προφορά των κανόνων κατασκευής. Γράφημα τη συνάρτηση y = 0,5(x-5) 2
-7
Ανεξάρτητη εργασία (σε ζευγάρια).
1. Γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2(x+3) 2 +1.
2. Να κατασκευάσετε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=√x+6+4.
3. Αρ. 21.16(γ)
Πρόσθετη εργασία.
4. Λύστε την εξίσωση γραφικά -3=x, χρησιμοποιώντας το γράφημα της Άσκησης Νο. 21.16(γ).
5. Λύστε το σύστημα των εξισώσεων γραφικά
VI . Περίληψη μαθήματος
Παιδιά, ας συνοψίσουμε το μάθημα. Τι επαναλάβαμε σήμερα, εμπεδώσαμε, μάθαμε κάτι νέο στο μάθημα;(Οι μαθητές λένε τα κύρια σημεία του μαθήματος) Τι σας δυσκόλεψε περισσότερο όταν δημιουργήσατε γραφήματα;
Δείξατε καλές γνώσεις. Μπράβο! Ακροαματικότητα...
VII .Εργασία για το σπίτι. ρήτρα 12, αρ. 21.7. 21.16(α);21.20(β). Πρόσθετη εργασία: σχεδιάστε τη συνάρτηση y=x 2 -4x+6. Αυτό είναι ένα δημιουργικό έργο για την κατασκευή ενός γραφήματος μιας τετραγωνικής συνάρτησης με βάση την υπάρχουσα γνώση σχετικά με τους μετασχηματισμούς των γραφημάτων συναρτήσεων.
Βιβλιογραφία.
Mordkovich A. G. Άλγεβρα. 8η τάξη. Σε 2 ώρες Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2010. Βιβλίο προβλημάτων για φοιτητές γενικής εκπαίδευσης / [Α. G. Mordkovich, L. A. Alexandrova, T. N. Mishustina και άλλοι |; Εκδ. A. G. Mordkovich. - 12η έκδ., αναθ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2010.
Ας επιλέξουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ας σχεδιάσουμε τις τιμές του ορίσματος στον άξονα της τετμημένης Χ, και στην τεταγμένη - οι τιμές της συνάρτησης y = f(x).
Γράφημα συνάρτησης y = f(x)είναι το σύνολο όλων των σημείων των οποίων οι τετμημένες ανήκουν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης και οι τεταγμένες είναι ίσες με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης.
Με άλλα λόγια, η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου, συντεταγμένες Χ, στοπου ικανοποιούν τη σχέση y = f(x).
Στο Σχ. Τα 45 και 46 δείχνουν γραφήματα συναρτήσεων y = 2x + 1Και y = x 2 - 2x.
Αυστηρά μιλώντας, θα πρέπει να γίνει διάκριση μεταξύ ενός γραφήματος μιας συνάρτησης (ο ακριβής μαθηματικός ορισμός της οποίας δόθηκε παραπάνω) και μιας σχεδιασμένης καμπύλης, η οποία δίνει πάντα μόνο ένα περισσότερο ή λιγότερο ακριβές σκίτσο του γραφήματος (και ακόμη και τότε, κατά κανόνα, όχι ολόκληρο το γράφημα, αλλά μόνο το τμήμα του που βρίσκεται στα τελικά μέρη του επιπέδου). Σε αυτό που ακολουθεί, ωστόσο, θα λέμε γενικά "γραφική παράσταση" αντί "σκίτσο γραφήματος".
Χρησιμοποιώντας ένα γράφημα, μπορείτε να βρείτε την τιμή μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Δηλαδή, αν το σημείο x = αανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης y = f(x), στη συνέχεια για να βρείτε τον αριθμό φά)(δηλαδή οι τιμές συνάρτησης στο σημείο x = α) θα πρέπει να το κάνετε αυτό. Είναι απαραίτητο μέσω του σημείου της τετμημένης x = ασχεδιάστε μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα τεταγμένων. αυτή η γραμμή θα τέμνει το γράφημα της συνάρτησης y = f(x)σε ένα σημείο; η τεταγμένη αυτού του σημείου, δυνάμει του ορισμού του γραφήματος, θα είναι ίση με φά)(Εικ. 47).
Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση f(x) = x 2 - 2xχρησιμοποιώντας το γράφημα (Εικ. 46) βρίσκουμε f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 κ.λπ.
Ένα γράφημα συνάρτησης απεικονίζει ξεκάθαρα τη συμπεριφορά και τις ιδιότητες μιας συνάρτησης. Για παράδειγμα, από την εξέταση του Σχ. 46 είναι σαφές ότι η συνάρτηση y = x 2 - 2xπαίρνει θετικές τιμές όταν Χ< 0 και στο x > 2, αρνητικό - στο 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2xδέχεται στο x = 1.
Να γραφεί μια συνάρτηση f(x)πρέπει να βρείτε όλα τα σημεία του επιπέδου, συντεταγμένες Χ,στοπου ικανοποιούν την εξίσωση y = f(x). Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτό είναι αδύνατο να γίνει, αφού υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων σημείων. Επομένως, το γράφημα της συνάρτησης απεικονίζεται κατά προσέγγιση - με μεγαλύτερη ή μικρότερη ακρίβεια. Η απλούστερη είναι η μέθοδος δημιουργίας γραφήματος χρησιμοποιώντας πολλά σημεία. Συνίσταται στο γεγονός ότι το επιχείρημα Χδώστε έναν πεπερασμένο αριθμό τιμών - ας πούμε, x 1, x 2, x 3,..., x k και δημιουργήστε έναν πίνακα που περιλαμβάνει τις επιλεγμένες τιμές συνάρτησης.
Ο πίνακας μοιάζει με αυτό:
Έχοντας συντάξει έναν τέτοιο πίνακα, μπορούμε να περιγράψουμε αρκετά σημεία στο γράφημα της συνάρτησης y = f(x). Στη συνέχεια, συνδέοντας αυτά τα σημεία με μια ομαλή γραμμή, παίρνουμε μια κατά προσέγγιση άποψη του γραφήματος της συνάρτησης y = f(x).
Πρέπει να σημειωθεί, ωστόσο, ότι η μέθοδος γραφικής παράστασης πολλαπλών σημείων είναι πολύ αναξιόπιστη. Στην πραγματικότητα, η συμπεριφορά του γραφήματος μεταξύ των προβλεπόμενων σημείων και η συμπεριφορά του έξω από το τμήμα μεταξύ των ακραίων σημείων που λαμβάνονται παραμένει άγνωστη.
Παράδειγμα 1. Να γραφεί μια συνάρτηση y = f(x)κάποιος συνέταξε έναν πίνακα με τιμές ορίσματος και συναρτήσεων:
Τα αντίστοιχα πέντε σημεία φαίνονται στο Σχ. 48.
Με βάση τη θέση αυτών των σημείων, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή (που φαίνεται στο Σχ. 48 με τη διακεκομμένη γραμμή). Μπορεί αυτό το συμπέρασμα να θεωρηθεί αξιόπιστο; Αν δεν υπάρχουν πρόσθετες σκέψεις που να υποστηρίζουν αυτό το συμπέρασμα, δύσκολα μπορεί να θεωρηθεί αξιόπιστο. αξιόπιστος.
Για να τεκμηριώσετε τη δήλωσή μας, εξετάστε τη συνάρτηση
.
Οι υπολογισμοί δείχνουν ότι οι τιμές αυτής της συνάρτησης στα σημεία -2, -1, 0, 1, 2 περιγράφονται ακριβώς στον παραπάνω πίνακα. Ωστόσο, το γράφημα αυτής της συνάρτησης δεν είναι καθόλου ευθεία γραμμή (φαίνεται στο Σχ. 49). Ένα άλλο παράδειγμα θα ήταν η συνάρτηση y = x + l + sinπx;Οι έννοιές του περιγράφονται επίσης στον παραπάνω πίνακα.
Αυτά τα παραδείγματα δείχνουν ότι στην «καθαρή» της μορφή η μέθοδος δημιουργίας γραφήματος χρησιμοποιώντας πολλά σημεία είναι αναξιόπιστη. Επομένως, για να σχεδιάσουμε ένα γράφημα μιας δεδομένης συνάρτησης, συνήθως προχωράμε ως εξής. Αρχικά, μελετάμε τις ιδιότητες αυτής της συνάρτησης, με τη βοήθεια της οποίας μπορούμε να φτιάξουμε ένα σκίτσο του γραφήματος. Στη συνέχεια, υπολογίζοντας τις τιμές της συνάρτησης σε πολλά σημεία (η επιλογή των οποίων εξαρτάται από τις καθιερωμένες ιδιότητες της συνάρτησης), βρίσκονται τα αντίστοιχα σημεία του γραφήματος. Και τέλος, μια καμπύλη σχεδιάζεται μέσα από τα κατασκευασμένα σημεία χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες αυτής της συνάρτησης.
Θα εξετάσουμε μερικές (τις απλούστερες και πιο συχνά χρησιμοποιούμενες) ιδιότητες των συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται για την εύρεση ενός σκίτσου γραφήματος αργότερα, αλλά τώρα θα δούμε μερικές κοινώς χρησιμοποιούμενες μεθόδους για την κατασκευή γραφημάτων.
Γράφημα της συνάρτησης y = |f(x)|.
Συχνά είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια συνάρτηση y = |f(x)|, όπου f(x) -δεδομένη λειτουργία. Ας σας υπενθυμίσουμε πώς γίνεται αυτό. Ορίζοντας την απόλυτη τιμή ενός αριθμού, μπορούμε να γράψουμε
Αυτό σημαίνει ότι το γράφημα της συνάρτησης y =|f(x)|μπορεί να ληφθεί από το γράφημα, συνάρτηση y = f(x)ως εξής: όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x), των οποίων οι τεταγμένες είναι μη αρνητικές, θα πρέπει να παραμείνουν αμετάβλητες. περαιτέρω, αντί για τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x)έχοντας αρνητικές συντεταγμένες, θα πρέπει να κατασκευάσετε τα αντίστοιχα σημεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = -f(x)(δηλαδή μέρος του γραφήματος της συνάρτησης
y = f(x), που βρίσκεται κάτω από τον άξονα Χ,πρέπει να αντανακλάται συμμετρικά γύρω από τον άξονα Χ).
Παράδειγμα 2.Γράφημα τη συνάρτηση y = |x|.
Ας πάρουμε το γράφημα της συνάρτησης y = x(Εικ. 50, α) και μέρος αυτού του γραφήματος στο Χ< 0 (που βρίσκεται κάτω από τον άξονα Χ) ανακλάται συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα Χ. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y = |x|(Εικ. 50, β).
Παράδειγμα 3. Γράφημα τη συνάρτηση y = |x 2 - 2x|.
Αρχικά, ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y = x 2 - 2x.Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα πάνω, η κορυφή της παραβολής έχει συντεταγμένες (1; -1), η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα x στα σημεία 0 και 2. Στο διάστημα (0; 2) η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές, επομένως αυτό το τμήμα του γραφήματος ανακλάται συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης. Το σχήμα 51 δείχνει το γράφημα της συνάρτησης y = |x 2 -2x|, με βάση το γράφημα της συνάρτησης y = x 2 - 2x
Γράφημα της συνάρτησης y = f(x) + g(x)
Εξετάστε το πρόβλημα της κατασκευής γραφήματος μιας συνάρτησης y = f(x) + g(x).αν δίνονται γραφήματα συναρτήσεων y = f(x)Και y = g(x).
Σημειώστε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y = |f(x) + g(x)| είναι το σύνολο όλων εκείνων των τιμών του x για τις οποίες ορίζονται και οι δύο συναρτήσεις y = f(x) και y = g(x), δηλαδή αυτό το πεδίο ορισμού είναι η τομή των τομέων ορισμού, συναρτήσεις f(x) και g(x).
Αφήστε τα σημεία (x 0 , y 1) Και (x 0, y 2) ανήκουν αντίστοιχα στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = f(x)Και y = g(x), δηλαδή υ 1 = f (x 0), y 2 = g (x 0).Τότε το σημείο (x0;. y1 + y2) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) + g(x)(Για f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. και οποιοδήποτε σημείο στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) + g(x)μπορούν να ληφθούν με αυτόν τον τρόπο. Επομένως, το γράφημα της συνάρτησης y = f(x) + g(x)μπορεί να ληφθεί από γραφήματα συναρτήσεων y = f(x). Και y = g(x)αντικαθιστώντας κάθε σημείο ( x n, y 1) γραφικά λειτουργιών y = f(x)τελεία (x n, y 1 + y 2),Οπου y 2 = g(x n), δηλαδή μετατοπίζοντας κάθε σημείο ( x n, y 1) γράφημα συνάρτησης y = f(x)κατά μήκος του άξονα στοκατά το ποσό y 1 = g(x n). Στην περίπτωση αυτή, λαμβάνονται υπόψη μόνο τέτοια σημεία Χ n για το οποίο ορίζονται και οι δύο συναρτήσεις y = f(x)Και y = g(x).
Αυτή η μέθοδος σχεδίασης μιας συνάρτησης y = f(x) + g(x) ονομάζεται πρόσθεση γραφημάτων συναρτήσεων y = f(x)Και y = g(x)
Παράδειγμα 4. Στο σχήμα κατασκευάστηκε ένα γράφημα της συνάρτησης με τη μέθοδο της προσθήκης γραφημάτων
y = x + sinx.
Όταν σχεδιάζετε μια συνάρτηση y = x + sinxτο σκεφτήκαμε f(x) = x,ΕΝΑ g(x) = sinx.Για να σχεδιάσουμε το γράφημα συνάρτησης, επιλέγουμε σημεία με τετμημένα -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Τιμές f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxΑς υπολογίσουμε στα επιλεγμένα σημεία και ας τοποθετήσουμε τα αποτελέσματα στον πίνακα.
>>Μαθηματικά: Πώς να κατασκευάσετε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x + l) + m, αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) είναι γνωστή
Πώς να κατασκευάσετε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x + l) + m, εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) είναι γνωστή
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x + 1) + m μπορεί να ληφθεί από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y - f(x) εφαρμόζοντας διαδοχικά τους μετασχηματισμούς που συζητήσαμε στις παραγράφους 10 και 11.
Παράδειγμα 1.Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = (x - 2) 2 - 3.
Λύση. Ας το φτιάξουμε σταδιακά.
Πρώτο στάδιο. Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y - x 2 (διακεκομμένη γραμμή στο Σχ. 54).
Δεύτερη φάση . Μετατοπίζοντας την παραβολή y = x 2 κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά, λαμβάνουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = (x - 2) 2 (συμπαγή μαύρη γραμμή στο Σχ. 54).
Τρίτο στάδιο. Μετατοπίζοντας την παραβολή y = (x - 2) 2 προς τα κάτω 3 μονάδες, λαμβάνουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = (x - 2) 2 - 3 (έγχρωμη γραμμή στο Σχ. 54).
Σχόλιο. Σε έναν μαθηματικό που έχει συνηθίσει να είναι οικονομικός στις πράξεις του δεν θα αρέσει πολύ αυτή η λύση, αν και είναι απολύτως σωστή.
Θα ρωτήσει: γιατί να φτιάξω τρία ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΤΕΧΝΕΣ, πότε μπορώ να τα καταφέρω με τη δημιουργία μόνο ενός γραφήματος; Εξάλλου, στην πραγματικότητα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = (x - 2) 2 - 3 είναι η ίδια παραβολή που χρησίμευε με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2, μόνο η κορυφή της παραβολής έχει μετακινηθεί από την αρχή στην το σημείο (2; -3).
Επομένως, ο μαθηματικός θα συνεχίσει, θα κάνω το εξής: θα μετακινηθώ σε ένα βοηθητικό σύστημα συντεταγμένων με την αρχή στο σημείο (2; -3). Για να γίνει αυτό, θα κατασκευάσω (με μια διακεκομμένη γραμμή) τις ευθείες x = 2 και y = -3 (Εικ. 55). Σε αυτό το βοηθητικό σύστημα συντεταγμένεςΘα χρησιμοποιήσω το πρότυπο παραβολής y = x 2 (οι μαθηματικοί συνήθως το εκφράζουν διαφορετικά σε τέτοιες περιπτώσεις, λένε: «ας δέσουμε τη συνάρτηση y = x 2 στο νέο σύστημα συντεταγμένων») και τελικά θα λάβω το απαιτούμενο γράφημα (Εικ. 56 )
Ας προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τις συμβουλές ενός μαθηματικού όταν λύνουμε το παρακάτω παράδειγμα.
Παράδειγμα 2.Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = - 2(x + 3) 2 + 1.
Λύση. 1) Ας προχωρήσουμε σε ένα βοηθητικό σύστημα συντεταγμένων με την αρχή στο σημείο (-3; 1) (διακεκομμένες γραμμές x = -3, y = 1 στο Σχ. 57).
Αυτό το βίντεο μάθημα θα συζητήσει το θέμα της γραφικής αναπαράστασης της συνάρτησης y = f(x + l), με την προϋπόθεση ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) είναι εκ των προτέρων γνωστή.
Για πληρότητα κατανόησης, οι επεξηγήσεις θα συνοδεύονται από οπτικό συμπλήρωμα. Για να γίνει αυτό, θα κατασκευάσουμε γραφήματα των συναρτήσεων y = x 2 και y = (x + 3) 2 στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Η πρώτη από τις συναρτήσεις έχει ήδη συζητηθεί στα βιντεομαθήματά μας νωρίτερα και γνωρίζουμε ότι το γράφημά της είναι μια παραβολή. Για τη συνάρτηση y = (x + 3) 2, αντικαθιστώντας τις τιμές του ορίσματος x, υπολογίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων, από τα οποία κατασκευάζουμε ένα γράφημα. Συνδέοντας τα σημεία μιας ομαλής καμπύλης, βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση είναι παραβολή. Θα παρατηρήσετε ότι αυτό το γράφημα έχει την ίδια εμφάνιση όπως στην περίπτωση του y = x 2, αλλά στην περίπτωση αυτή μετακινείται προς τα αριστερά κατά τρεις μονάδες κατά μήκος του άξονα x. Αντίστοιχα, υπάρχει επίσης μια μετατόπιση της κορυφής της παραβολής στη θέση (- 3; 0), και όχι στην αρχή των συντεταγμένων, όπως βλέπουμε για την παραβολή της ισότητας y = x 2. Ο άξονας συμμετρίας είναι επίσης μετατοπισμένος και αντιστοιχεί στην ευθεία στη θέση x = - 3, και όχι x = 0, όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε στην περίπτωση της γραφικής παράστασης της εξίσωσης y = x 2.
Όταν απεικονίζουμε, όπως δείχνει το βίντεο, γραφήματα των συναρτήσεων y = x 2 και y = (x - 2) 2 σε ένα πλέγμα συντεταγμένων, μπορείτε να παρατηρήσετε ότι το δεύτερο γράφημα είναι παρόμοιο με το πρώτο με τη μόνη ιδιαιτερότητα ότι υπάρχει μια μετατόπιση κατά μήκος του άξονα x προς τα δεξιά κατά 2 θέσεις. Μπορείτε να δείτε πώς φαίνεται αυτοπροσώπως στο βίντεο που παρέχεται.
Μετά την προβολή αυτού του παραδείγματος, γίνεται σαφές ότι η γραφική επίλυση συναρτήσεων αυτού του τύπου συμβαίνει χρησιμοποιώντας τον ίδιο αλγόριθμο.
Ένα άλλο παράδειγμα που προσφέρει το βίντεό μας είναι η ισότητα y = -2 (x - 4) 2. Η γραφική της παράσταση είναι επίσης μια παραβολή της μορφής y = - 2x 2, η οποία έχει υποστεί μετατόπιση, δηλαδή παράλληλη μετάφραση κατά μήκος του άξονα x προς τα δεξιά κατά τέσσερις μονάδες. Αυτό το βίντεο θα σας παρουσιάσει το ίδιο το γράφημα.
Με βάση τα παραπάνω, μπορούν να εξαχθούν τα ακόλουθα συμπεράσματα:
1) Για να σχεδιάσετε μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης όπως y = f(x + l), εάν το l είναι θετικός αριθμός που καθορίζεται από τη συνθήκη, είναι απαραίτητο να μετακινήσετε το γράφημα ισότητας κατά μήκος του άξονα x προς τα αριστερά κατά l κλίμακα μονάδες?
2) Για να κατασκευάσετε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x - l), όπου ο αριθμός l είναι ένας δεδομένος θετικός αριθμός, απλά πρέπει να μετατοπίσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) κατά μήκος του άξονα x κατά l μονάδες κλίμακας προς τα δεξιά.
Δηλαδή, εάν το πρόσημο του αριθμού l είναι θετικό, τότε το μετατοπίζουμε προς την κατεύθυνση της μείωσης των τιμών κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και εάν είναι αρνητικό, τότε προς την κατεύθυνση της αύξησής του.
Παράδειγμα 1. Χρησιμοποιώντας τις γνώσεις που αποκτήθηκαν στο βίντεο, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y = - 3 / (x+5)
Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, κατασκευάζουμε πρώτα μια υπερβολή για την ισότητα y = -3/x, μετά την οποία μετατοπίζουμε το γράφημα που προκύπτει κατά μήκος του άξονα x προς τα αριστερά κατά 5 μονάδες κλίμακας. Ως αποτέλεσμα, πήραμε το απαιτούμενο γράφημα - πρόκειται για μια υπερβολή με ασύμπτωτες x = -5 και y = 0. Είδατε το ίδιο το γράφημα όταν παρακολουθούσατε το προτεινόμενο βίντεο.
Το επόμενο παράδειγμα είναι το εξής: είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί ένα γράφημα της συνάρτησης y = |x+2|. Η ουσία της επίλυσης αυτού του προβλήματος είναι ο ίδιος αλγόριθμος όπως στην προηγούμενη περίπτωση. Αρχικά, κατασκευάζουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y = |x|, και στη συνέχεια τη μετατοπίζουμε κατά δύο μονάδες κλίμακας προς τα αριστερά.
Επιπλέον, θα πρέπει να ειπωθεί ότι όταν σχεδιάζουμε μια συνάρτηση της μορφής y = f(x + l), εάν l είναι οποιοσδήποτε αριθμός διαφορετικός από το μηδέν, δηλαδή και θετικός και αρνητικός. Όταν λύναμε προβλήματα συναρτήσεων, υπολογίσαμε τις συντεταγμένες των σημείων, που χρησιμοποιήσαμε για να κατασκευάσουμε γραφήματα, χωρίς να δώσουμε προσοχή στο πρόσημο δίπλα σε έναν συγκεκριμένο αριθμό l, που υπήρχε στις συναρτήσεις μας, αλλά απλώς σημειώσαμε τη μετατόπιση του γραφήματος σε μία μοίρα ή άλλο. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι η κατεύθυνση της μετατόπισης εξακολουθούσε να καθορίζεται από το πρόσημο του αριθμού l: στην περίπτωση που η τιμή του αριθμού l ήταν θετική, το γράφημα μετατοπίστηκε προς τα αριστερά και στην περίπτωση που ο αριθμός Το l ήταν μικρότερο από το μηδέν, το γράφημα μετατοπίστηκε προς τα δεξιά.