Beispiele für Kombinatorik: Wie viele ungerade Zahlen sind 0 1. Kombinatorische Probleme (Klasse 5)

Um die entsprechenden mathematischen Modelle kombinatorischer Probleme zu konstruieren, werden wir sie verwenden mathematischer Apparat der Mengenlehre. Es kann vorkommen, dass in einer bestimmten Menge die Reihenfolge der Elemente nicht wichtig ist, sondern nur die Zusammensetzung der Menge. Es gibt jedoch Probleme, bei denen die Reihenfolge der Elemente von entscheidender Bedeutung ist.

Definition 1: Befehl in vielen von Elemente ist die Nummerierung seiner Elemente mit natürlichen Zahlen, d.h. Anzeige einstellen
für viele
.

Definition 2: Eine Menge mit einer bestimmten Reihenfolge wird aufgerufen bestelltes Set.

Offensichtlich kann eine Menge, die mehr als ein Element enthält, auf mehr als eine Weise geordnet werden.

Zum Beispiel aus zwei Buchstaben Und Sie können eine geordnete Menge auf zwei verschiedene Arten konstruieren:

Und
.

Drei Buchstaben ,Und kann auf sechs Arten sequenziert werden:

,
,
,
,
,
.

Für vier Buchstaben erhalten wir durch Aufzählung 24 verschiedene geordnete Sequenzen.

Geordnete Folgen von Elementen einer bestimmten Menge können als Verteilungen oder Anordnungen dieser Elemente in einer Folge betrachtet werden.

Definition 3: Gegeben sei eine endliche Menge
aus Elemente. Irgendein Satz von Elemente einer bestimmten Menge (und Elemente in der Menge können wiederholt werden) werden aufgerufen -Vereinbarungen .

Durch den Begriff der Anordnung werden die grundlegenden Definitionen der Kombinatorik eingeführt: Kombinationen, Platzierungen und Permutationen. Darüber hinaus kann jedes dieser Konzepte wiederholt oder ohne Wiederholung wiederholt werden. In diesem Abschnitt betrachten wir kombinatorische Formeln ohne Wiederholung.

Umstellungen ohne Wiederholung.

Definition 4: Lassen
- eine endliche Menge von Elemente. Permutationen aus verschiedene Elemente des Sets
Alle Standorte werden aufgerufen Elemente in einer bestimmten Reihenfolge. Angezeigt durch: (vom französischen Wort Permutation- Neuordnung).

Geordnete Mengen gelten als verschieden, wenn sie sich entweder in ihren Elementen oder in ihrer Reihenfolge unterscheiden.

Definition 5: Man nennt verschiedene geordnete Mengen, die sich nur in der Reihenfolge ihrer Elemente unterscheiden Permutationen dieser Menge.

Die letzte Definition wird aus mengentheoretischer Sicht formuliert.

Definition 6: Arbeiten Aufeinanderfolgende natürliche Zahlen werden in der Mathematik mit bezeichnet und Ruf an Fakultät .

Wahlmöglichkeit zur Bezeichnung Ausrufezeichen kann daran liegen, dass auch für relativ kleine Werte Nummer sehr groß. Zum Beispiel,
,
,
,
,
,,usw.

Satz 1: Anzahl der Permutationen von verschiedene Elemente wird nach der Formel berechnet:

Nachweisen. Betrachten Sie eine beliebige Menge von Elemente. Lassen Sie uns daraus alle möglichen Arrangements bauen Elemente. An die erste Stelle des Arrangements können Sie beliebige setzen Elemente ( Methoden zur Auswahl des ersten Elements). Sobald das erste Element ausgewählt ist, kann unabhängig davon, wie es ausgewählt wird, das zweite Element ausgewählt werden
Weg. Es bleibt das dritte Element auszuwählen
Methode usw. Das letzte Element wird entsprechend auf eine Art ausgewählt. Aufgrund des kombinatorischen Prinzips der Multiplikation ist die Anzahl solcher Anordnungen dann gleich:

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel 1: Auf wie viele Arten können drei Freunde in einem Kino die Plätze 1, 2 und 3 einnehmen?

Lösung. Die Anzahl der gesuchten Methoden entspricht der Anzahl der Permutationen ohne Wiederholungen von drei Elementen:
Wege. Bei Bedarf können diese Methoden aussortiert werden.

Man nennt Permutationen der Buchstaben eines Wortes Anagramme . Anagramme wurden bereits im 3. Jahrhundert v. Chr. vom griechischen Grammatiker Lycophron entdeckt und ziehen noch immer die Aufmerksamkeit von Linguisten, Dichtern und Literaturliebhabern auf sich. Meister der Wortspiele kennen neben Gelehrsamkeit und einem großen Wortschatz viele Geheimnisse im Zusammenhang mit kombinatorischen Fähigkeiten, darunter Anagramme. Oft ist es notwendig, aus allen Permutationen diejenigen auszuwählen, die eine bestimmte Eigenschaft haben. Zum Beispiel unter den Anagrammen des Wortes "Mol", von denen es nur gibt
, nur eines, das Wort selbst nicht mitgerechnet "Mol", macht auf Russisch Sinn – "Gericht".

Neben linearen Permutationen können auch zirkuläre (oder zyklische) Permutationen berücksichtigt werden. In diesem Fall gelten Permutationen, die sich während der Rotation ineinander umwandeln, als gleich und sollten nicht gezählt werden.

Satz 2: Anzahl der zirkulären Permutationen von Verschiedene Elemente sind gleich

Beispiel 2: Auf wie viele Arten können 7 Kinder an einem Reigen teilnehmen?

Lösung. Die Anzahl der linearen Permutationen von 7 Kindern ist gleich
. Wenn der Rundtanz bereits gebildet ist, gibt es dafür 7 kreisförmige Permutationen, die sich beim Drehen ineinander verwandeln. Diese Permutationen sollten nicht gezählt werden, also kreisförmige Permutationen von 7 Elementen .

Platzierungen ohne Wiederholung.

Definition 7: Lass es sein verschiedene Artikel. Arrangements von Elemente von Elemente (
) werden genannt Platzierungen ohne Wiederholungen . Benennen: . Gemeint ist damit, dass sich die Elemente in den Arrangements nicht wiederholen.

In dieser Definition ist folgender Standpunkt wesentlich: Die beiden Anordnungen sind unterschiedlich, wenn sie sich in mindestens einem Element oder einer Reihenfolge der Elemente unterscheiden.

Lassen Sie uns eine andere Definition von Platzierungen geben, die der ursprünglichen entspricht und leichter zu verstehen ist.

Definition 8: Man nennt endlich geordnete Mengen Platzierungen.

Satz 3: Anzahl aller Platzierungen von Elemente von Elemente ohne Wiederholungen wird nach der Formel berechnet:

Nachweisen. Es sei eine beliebige Menge vorhanden
, bestehend aus Elemente. Sie müssen aus dieser Sorte wählen verschiedene Elemente. Darüber hinaus ist die Reihenfolge der Auswahl wichtig.

Die Auswahl der Elemente erfolgt stufenweise. Das erste Element der Anordnung kann ausgewählt werden verschiedene Wege. Dann aus den restlichen Elementen des Sets
das zweite Element der Anordnung wird ausgewählt
Weg. Es ist möglich, das dritte Element auszuwählen
Methode usw. Dann wählen - das Element, das wir haben
Weg. Daher beträgt die Anzahl solcher Anordnungen gemäß der Multiplikationsregel:

Per Definition handelt es sich bei solchen Arrangements um Praktika. Q.E.D.

Beispiel 3: Eine Versammlung von 25 Personen wählt ein Präsidium aus 3 Personen: 1) Vorsitzender, 2) Stellvertreter, 3) Sekretär. Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein Präsidium auszuwählen?

Lösung. Bei der Auswahl von drei aus 25 Personen beachten wir, dass die Reihenfolge der Auswahl wichtig ist, sodass die Anzahl der Präsidien gleich ist:

Kommentar: Die Anzahl der Platzierungen ohne Wiederholungen lässt sich auch mit der Formel ermitteln:

. (3)

Wenn der Nenner des Bruchs aus Formel (3)
, dann wird es allgemein akzeptiert
.

Kommentar: Formel (3) ist kompakt, aber bei der Lösung von Problemen ist es bequemer, Formel (2) zu verwenden. Der Bruch auf der rechten Seite der Formel (3) kann auf eine ganze Zahl reduziert werden. Diese Zahl entspricht der Zahl auf der rechten Seite der Formel (2).

Beispiel 4: Wie viele Wörter mit zwei Buchstaben (Buchstaben werden nicht wiederholt) können aus 33 Buchstaben des russischen Alphabets gebildet werden?

Lösung. Dabei handelt es sich nicht um Wörter im sprachlichen Sinne, sondern um Buchstabenkombinationen beliebiger Zusammensetzung.

Dann ist die Anzahl der verschiedenen Kombinationen von 2 Buchstaben, die aus den 33 Buchstaben des Alphabets ausgewählt werden, gleich:

In diesem Fall ist die Reihenfolge der Buchstaben wichtig. Wenn Sie in einem Wort zwei Buchstaben ändern, erhalten Sie ein neues Wort.

Kommentar: Permutation ohne Wiederholungen ist ein Sonderfall von Platzierungen ohne Wiederholungen, wenn
. Wir können sagen, dass die Permutation von Elemente ist die Platzierung von Elemente von Elemente:

Bei einigen kombinatorischen Problemen spielt die Reihenfolge der Objekte in einer bestimmten Menge keine Rolle. Wichtig ist nur, aus welchen Elementen es besteht. Mit solchen Situationen haben wir es zu tun Kombinationen.

Kombinationen ohne Wiederholung.

Definition 9: Kombinationen keine Wiederholungen von Elemente einer Menge nach Elemente (
) sind voneinander abweichende Regelungen Komposition, Aber nicht in der Reihenfolge Elemente. Benennen: (vom französischen Wort Kombination- Kombination).

In diesem Fall in Absprachen Die Zusammensetzung ist wichtig, nicht die Reihenfolge der Elemente in einer Teilmenge. Unterscheiden sich zwei Anordnungen nur in der Reihenfolge der Elemente, so sind sie aus der Sicht der Kombinationen nicht unterscheidbar. Elemente in diesen Arrangements werden nicht wiederholt.

Aus mengentheoretischer Sicht kann die Definition von Kombinationen unterschiedlich formuliert werden.

Definition 10: Man nennt endliche ungeordnete Mengen Kombinationen.

Kombinationen sind also eine Auswahl von Elementen, bei denen ihre Reihenfolge völlig unwichtig ist.

Kombinationen von Elemente von Es sollten weniger Elemente als entsprechende Platzierungen vorhanden sein. Dies folgt aus der Tatsache, dass es nicht notwendig ist, Formationen gleicher Zusammensetzung zu zählen.

Satz 4: Anzahl der Kombinationen wird durch die folgende Formel gefunden:

. (4)

Nachweisen. Wenn von willkürlich -Elementsatz ausgewählt Elemente, dann können sie nummeriert werden
in vielerlei Hinsicht gleich . Übrig
Elemente können nummeriert werden
,
, …,Gesamt
Wege. Darüber hinaus die Auswahl selbst Elemente aus Elemente umgesetzt werden können Wege. Also haben wir
Nummerierungsoptionen für den gesamten Satz von Elemente, von denen es nur gibt . Deshalb haben wir
, woher wir kommen:

Der Satz ist bewiesen.

Kommentar: Der Bruch auf der rechten Seite von (4) kann auf eine ganze Zahl reduziert werden.

Aus der Formel für die Anzahl der Kombinationen folgt:

,
,
.

Formel (4) kann in die Form umgewandelt werden:
. Dies zeigt die Anzahl der Platzierungen V mal die Anzahl der entsprechenden Kombinationen . Mit anderen Worten, alle Kombinationen zu zählen , muss von allen Platzierungen ausgeschlossen werden Teilmengen unterschiedlicher Reihenfolge (es wird sein Stücke), d.h. geteilt durch .

Beispiel 5: Auf wie viele Arten können Sie drei verschiedene Farben aus den fünf verfügbaren Farben auswählen?

Lösung. Die Reihenfolge, in der die Farben ausgewählt werden, ist nicht wichtig. Wichtig ist nur, welche Farben gewählt werden. Daher ist die Anzahl der Optionen gleich:
.

Beispiel 6: Auf wie viele Arten lassen sich dreifarbig gestreifte Fahnen nähen, wenn Stoff in fünf verschiedenen Farben vorhanden ist?

Lösung. Die Reihenfolge, in der die Streifen ausgewählt werden, ist wichtig, daher ist die Anzahl solcher Flags gleich:
.

Bei vielen kombinatorischen Problemen erweist es sich als schwierig, direkt die Anzahl der Optionen zu finden, die uns interessieren. Wenn sich jedoch die Bedingungen des Problems ändern, können Sie eine Reihe von Optionen finden, die das Original um ein bekanntes Vielfaches übertreffen. Diese Technik heißt Mehrfachzählmethode.

1. Wie viele Anagramme hat das Wort CLASS?

Die Schwierigkeit besteht darin, dass dieses Wort zwei identische Buchstaben C enthält. Wir betrachten sie vorübergehend als unterschiedlich und bezeichnen sie mit C 1 und C 2. Dann beträgt die Anzahl der Anagramme 5! = 120. Aber die Wörter, die sich nur durch die Neuanordnung der Buchstaben C 1 und C 2 voneinander unterscheiden, sind tatsächlich das gleiche Anagramm! Daher werden 120 Anagramme in Paare identischer Anagramme unterteilt, d. h. die erforderliche Anzahl von Anagrammen beträgt 120/2 = 60.

2. Wie viele Anagramme hat das Wort CHARADA?

Wenn wir drei Buchstaben A als unterschiedliche Buchstaben A 1, A 2, A 3 zählen, erhalten wir 6! Anagramme Aber Wörter, die nur durch Neuanordnung der Buchstaben A 1, A 2, A 3 zusammengesetzt werden, sind eigentlich dasselbe Anagramm. Weil es 3 sind! Permutationen der Buchstaben A 1, A 2, A 3, ursprünglich erhalten 6! Anagramme sind in 3er-Gruppen eingeteilt! identisch, und die Anzahl der verschiedenen Anagramme beträgt 6!/3! = 120.

3. Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die mindestens eine gerade Ziffer enthalten?

Lassen Sie uns die Anzahl der „unnötigen“ vierstelligen Zahlen ermitteln, deren Aufzeichnung nur ungerade Ziffern enthält. Es gibt 5 4 = 625 solcher Zahlen, aber insgesamt gibt es 9000 vierstellige Zahlen, daher beträgt die erforderliche Anzahl der „benötigten“ Zahlen 9000 – 625 = 8375.

Finden Sie die Anzahl der Anagramme für die Wörter VERESK, BALAGAN, CITYMAN.
Finden Sie die Anzahl der Anagramme für die Wörter BAOBAB, BALLAD, TURN, ANAGRAMM, MATHEMATIK, KOMBINATORIK, VERTEIDIGUNG.
Auf wie viele Arten können Sie 7 Besucher in drei Hotelzimmern unterbringen: Einzel-, Doppel- und Vierbettzimmer?
Im Kühlschrank liegen zwei Äpfel, drei Birnen und vier Orangen. Neun Tage hintereinander bekommt Petja jeden Tag ein Stück Obst. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?
Aus den sieben besten Skifahrern der Schule muss ein Dreierteam ausgewählt werden, das an Stadtwettbewerben teilnimmt. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?
Vor der Prüfung versprach der Professor, der Hälfte der Prüflinge schlechte Noten zu geben. Zur Prüfung kamen 20 Studierende. Auf wie viele Arten kann er sein Versprechen erfüllen?
Wie viele Wörter können aus fünf Buchstaben A und maximal drei Buchstaben B gebildet werden?
Zur Auswahl stehen Schokoladen-, Erdbeer- und Milcheis. Auf wie viele Arten kann man drei Eissorten kaufen?
Bei der Pizzazubereitung werden dem Käse verschiedene Komponenten zugesetzt, um ihm einen besonderen Geschmack zu verleihen. Bill verfügt über Zwiebeln, Pilze, Tomaten, Paprika und Sardellen, die seiner Meinung nach allesamt zu Käse hinzugefügt werden können. Wie viele Pizzasorten kann Bill backen?
Ein Zeuge des kriminellen Showdowns erinnerte sich, dass die Kriminellen in einem Mercedes geflohen waren, dessen Nummernschild die Buchstaben T, Z, U und die Zahlen 3 und 7 enthielt (eine Zahl ist eine Zeile, die zuerst drei Buchstaben und dann drei Zahlen enthält). . Wie viele solcher Zahlen gibt es?
Wie viele Diagonalen gibt es in einer konvexen Form? N-Quadrat?
Wie viele Dinge gibt es? N-digitale Zahlen?
Wie viele zehnstellige Zahlen gibt es, die mindestens zwei identische Ziffern haben?
Der Würfel wird dreimal geworfen. Unter allen möglichen Ergebnisfolgen gibt es solche, bei denen mindestens einmal eine Sechs gewürfelt wird. Wie viele sind es?
Wie viele fünfstellige Zahlen haben die Ziffer 1 in ihrer Notation?
Auf wie viele Arten können die weißen und schwarzen Könige auf einem Schachbrett platziert werden, ohne dass sie sich gegenseitig treffen?
Wie viele Teiler hat die Zahl 10800?

Die Kombinatorik ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit der Frage beschäftigt, wie viele Kombinationen einer bestimmten Art aus gegebenen Objekten (Elementen) gebildet werden können.

Multiplikationsregel (Grundformel der Kombinatorik)

Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, ein Element aus jeder Gruppe auszuwählen und sie in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen (d. h. eine geordnete Menge zu erhalten), ist gleich:

Beispiel 1

Die Münze wurde dreimal geworfen. Wie viele verschiedene Wurfergebnisse können Sie erwarten?

Lösung

Die erste Münze hat Alternativen – entweder Kopf oder Zahl. Für die zweite Münze gibt es auch Alternativen usw., d.h. .

Erforderliche Anzahl an Wegen:

Additionsregel

Wenn zwei beliebige Gruppen keine gemeinsamen Elemente haben, kann die Auswahl eines Elements entweder von, oder von, ... oder von auf verschiedene Arten erfolgen.

Beispiel 2

Im Regal stehen 30 Bücher, davon 20 mathematisch, 6 technisch und 4 wirtschaftswissenschaftlich. Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein Mathematik- oder ein Wirtschaftsbuch auszuwählen?

Lösung

Ein Mathematikbuch kann auf verschiedene Arten ausgewählt werden, ein Wirtschaftsbuch auf verschiedene Arten.

Nach der Summenregel gibt es eine Möglichkeit, ein Mathematik- oder Wirtschaftsbuch auszuwählen.

Platzierungen und Umstellungen

Platzierungen- Hierbei handelt es sich um geordnete Ansammlungen von Elementen, die sich entweder in der Zusammensetzung oder in der Reihenfolge der Elemente voneinander unterscheiden.

Platzierungen ohne Wiederholungen, wenn das ausgewählte Element nicht vor der Auswahl des nächsten Elements in die Population zurückgegeben wird. Eine solche Auswahl wird als sequentielle Auswahl ohne Wiederholung bezeichnet und ihr Ergebnis ist eine Platzierung ohne Wiederholung von Elementen durch .

Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, mit denen eine sequentielle Auswahl getroffen werden kann, ohne Elemente aus der Volumenpopulation zurückzugeben, ist gleich:

Beispiel 3

Der Tagesplan besteht aus 5 verschiedenen Lektionen. Bestimmen Sie die Anzahl der Planungsmöglichkeiten bei der Auswahl aus 11 Disziplinen.

Lösung

Jede Zeitplanoption stellt einen Satz von 5 von 11 Disziplinen dar und unterscheidet sich von anderen Optionen sowohl in der Zusammensetzung als auch in der Reihenfolge. Deshalb:

Umordnungen sind geordnete Sammlungen, die sich nur in der Reihenfolge ihrer Elemente voneinander unterscheiden. Die Anzahl aller Permutationen einer Menge von Elementen ist gleich

Beispiel 4

Auf wie viele Arten können 4 Personen an einem Tisch sitzen?

Lösung

Jede Sitzplatzvariante unterscheidet sich lediglich in der Reihenfolge der Teilnehmer, d. h. es handelt sich um eine Permutation aus 4 Elementen:

Platzierungen mit Wiederholungen, wenn das ausgewählte Element zur Grundgesamtheit zurückgegeben wird, bevor das nächste ausgewählt wird. Diese Auswahl wird als sequentielle Auswahl mit Rückgabe bezeichnet, und ihr Ergebnis wird als Platzierung mit Wiederholungen von Elementen bezeichnet.

Die Gesamtzahl der verschiedenen Möglichkeiten, mit denen eine Auswahl getroffen werden kann, um Elemente aus der Volumenpopulation zurückzugeben, ist gleich

Beispiel 5

Der Aufzug hält auf 7 Etagen. Auf wie viele Arten können 6 Passagiere einer Aufzugskabine auf diesen Etagen aussteigen?

Lösung

Jede der Methoden zur Verteilung der Passagiere auf die Etagen ist eine Kombination von 6 Passagieren auf 7 Etagen und unterscheidet sich von anderen Kombinationen sowohl in der Zusammensetzung als auch in ihrer Reihenfolge. Da ein oder mehrere Passagiere die gleiche Etage verlassen können, können dieselben Passagiere wiederholt werden. Daher entspricht die Anzahl solcher Kombinationen der Anzahl der Platzierungen mit Wiederholungen von 7 Elementen von 6:

Kombinationen

Kombinationen von n Elementen mal k heißen ungeordnete Sammlungen, die sich um mindestens ein Element voneinander unterscheiden.

Nehmen wir mehrere Elemente gleichzeitig aus der Grundgesamtheit (oder nehmen Sie Elemente nacheinander, aber die Reihenfolge ihres Auftretens wird nicht berücksichtigt). Als Ergebnis einer solchen gleichzeitigen ungeordneten Auswahl von Elementen aus der allgemeinen Grundgesamtheit des Bandes werden Kombinationen erhalten, die aufgerufen werden Kombinationen ohne Wiederholungen aus Elementen von .

Die Anzahl der Elementkombinationen ist gleich:

Beispiel 6

In einer Kiste sind 9 Äpfel. Auf wie viele Arten kann man drei Äpfel aus einer Kiste auswählen?

Lösung

Jede Auswahl besteht aus 3 Äpfeln und unterscheidet sich von den anderen nur in der Zusammensetzung, das heißt, es handelt sich um Kombinationen ohne Wiederholung von 9 Elementen:

Anzahl der Möglichkeiten, wie Sie 3 von 9 Äpfeln auswählen können:

Lassen Sie Elemente nacheinander aus der allgemeinen Grundgesamtheit des Volumens auswählen, und jedes ausgewählte Element wird an die allgemeine Grundgesamtheit zurückgegeben, bevor das nächste ausgewählt wird. Dabei wird erfasst, welche Elemente wie oft erschienen sind, die Reihenfolge ihres Auftretens wird jedoch nicht berücksichtigt. Die resultierenden Aggregate werden aufgerufen Kombinationen mit Wiederholungen aus Elementen von .

Anzahl der Kombinationen mit Wiederholungen von Elementen durch:

Beispiel 7

Die Post verkauft 3 Arten von Postkarten. Auf wie viele Arten kann man 6 Postkarten kaufen?

Dies ist eine Aufgabe, um die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholungen von 3 bis 6 zu ermitteln:

Eine Menge in Gruppen unterteilen

Lassen Sie eine Menge verschiedener Elemente wie folgt in Gruppen einteilen, dann enthält die erste Gruppe Elemente, die zweite Gruppe Elemente, die dritte Gruppe Elemente usw. Diese Situation wird als Aufteilung der Menge in Gruppen bezeichnet.

Die Anzahl der Unterteilungen in Gruppen, wenn Elemente in die erste, Elemente in die zweite und Elemente in die k-te Gruppe fallen, ist gleich:

Beispiel 8

Eine Gruppe von 16 Personen muss in drei Untergruppen aufgeteilt werden, wobei die erste aus 5 Personen, die zweite aus 7 Personen und die dritte aus 4 Personen bestehen sollte. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?

Zusammenfassung zum Thema:

Abgeschlossen von Schüler der 10. Klasse „B“

weiterführende Schule Nr. 53

Gluchow Michail Alexandrowitsch

Nabereschnyje Tschelny

2002
Inhalt

Aus der Geschichte der Kombinatorik_______________________________________________	3
Summenregel_____________________________________________________________	4
	-
Produktregel_____________________________________________	4
Beispiele für Aufgaben______________________________________________________________	-
Sich überschneidende Mengen_______________________________________________	5
Beispiele für Aufgaben______________________________________________________________	-
Euler-Kreise____________________________________________________________________________	-
Praktika ohne Wiederholung_____________________________________________	6
Beispiele für Aufgaben______________________________________________________________	-
Permutationen ohne Wiederholungen________________________________________________	7
Beispiele für Aufgaben______________________________________________________________	-
Kombinationen ohne Wiederholungen_______________________________________________	8
Beispiele für Aufgaben______________________________________________________________	-
Platzierungen und Kombinationen ohne Wiederholung______________________________	9
Beispiele für Aufgaben______________________________________________________________	-
Permutationen mit Wiederholungen________________________________________________	9
Beispiele für Aufgaben______________________________________________________________	-
Probleme zur eigenständigen Lösung________________________________	10
Literaturverzeichnis___________________________________	11

Aus der Geschichte der Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt sich mit verschiedenen Arten von Verbindungen, die aus Elementen einer endlichen Menge gebildet werden können. Einige Elemente der Kombinatorik waren in Indien bereits im 2. Jahrhundert bekannt. Chr e. Die Nydier wussten, wie man Zahlen berechnet, die heute „Kombinationen“ genannt werden. Im 12. Jahrhundert. Bhaskara berechnete einige Arten von Kombinationen und Permutationen. Es wird angenommen, dass indische Wissenschaftler die Verbindungen im Zusammenhang mit ihrer Verwendung in der Poetik, dem Studium der Struktur von Versen und poetischen Werken, untersuchten. Beispielsweise im Zusammenhang mit der Berechnung möglicher Kombinationen von betonten (langen) und unbetonten (kurzen) Silben eines Fußes von n Silben. Als wissenschaftliche Disziplin entstand die Kombinatorik im 17. Jahrhundert. Auch der französische Autor A. widmet in dem Buch „Theorie und Praxis der Arithmetik“ (1656) ein ganzes Kapitel den Kombinationen und Permutationen.
B. Pascal skizzierte in seiner „Abhandlung über das arithmetische Dreieck“ und in seiner „Abhandlung über numerische Ordnungen“ (1665) die Lehre von den Binomialkoeffizienten. P. Fermat wusste um die Zusammenhänge zwischen mathematischen Quadraten und figurativen Zahlen mit der Komposittheorie. Der Begriff „Kombinatorik“ wurde erstmals verwendet, nachdem Leibniz 1665 sein Werk „Diskurs über die Kunst der Kombination“ veröffentlichte, das erstmals eine wissenschaftliche Grundlage für die Theorie der Kombinationen und Permutationen lieferte. J. Bernoulli beschäftigte sich erstmals 1713 im zweiten Teil seines Buches „Ars conjectandi“ (Die Kunst der Vorhersage) mit Platzierungen. Die moderne Symbolik von Kombinationen wurde erst im 19. Jahrhundert von verschiedenen Autoren pädagogischer Handbücher vorgeschlagen.

Die ganze Vielfalt kombinatorischer Formeln lässt sich aus zwei Grundaussagen über endliche Mengen ableiten – der Summenregel und der Produktregel.

Summenregel

Wenn sich endliche Mengen nicht schneiden, dann ist die Anzahl der Elemente von X U Y (oder) gleich der Summe der Anzahl der Elemente der Menge X und der Anzahl der Elemente der Menge Y.

Das heißt, wenn sich X Bücher im ersten Regal und Y im zweiten Regal befinden, können Sie ein Buch aus dem ersten oder zweiten Regal auf X+Y-Art auswählen.

Beispielprobleme

Der Student muss eine praktische Arbeit in Mathematik absolvieren. Ihm wurden 17 Themen in Algebra und 13 Themen in Geometrie zur Auswahl angeboten. Auf wie viele Arten kann er ein Thema für die praktische Arbeit auswählen?

Lösung: X=17, Y=13

Nach der Summenregel X U Y=17+13=30 Themen.

Es gibt 5 Lose für die Geldlotterie, 6 Lose für die Sportlotterie und 10 Lose für die Autolotterie. Auf wie viele Arten kann man ein Ticket für eine Sportlotterie oder eine Autolotterie auswählen?

Lösung: Da die Geld- und Kleiderlotterie bei der Wahl nicht berücksichtigt wird, gibt es nur 6 + 10 = 16 Möglichkeiten.

Produktregel

Wenn Element X auf k Arten und Element Y auf m Arten ausgewählt werden kann, dann kann das Paar (X,Y) auf k*m Arten ausgewählt werden.

Das heißt, wenn sich im ersten Regal 5 Bücher befinden und im zweiten 10, dann können Sie auf 5 * 10 = 50 Arten ein Buch aus dem ersten und eines aus dem zweiten Regal auswählen.

Beispielprobleme

Ein Buchbinder muss 12 verschiedene Bücher in roten, grünen und braunen Einbänden binden. Auf wie viele Arten kann er dies tun?

Lösung: Es gibt 12 Bücher und 3 Farben, sodass laut Produktregel 12 * 3 = 36 Bindungsmöglichkeiten möglich sind.

Wie viele fünfstellige Zahlen gibt es, die von links nach rechts und von rechts nach links gleich gelesen werden?

Lösung: Bei solchen Zahlen ist die letzte Ziffer mit der ersten und die vorletzte Ziffer mit der zweiten identisch. Die dritte Ziffer kann alles sein. Dies kann im Formular dargestellt werden XYZYX, wobei Y und Z beliebige Zahlen sind und X nicht Null ist. Das bedeutet, dass nach der Produktregel die Anzahl der Ziffern, die sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links gleichermaßen gelesen werden können, 9*10*10=900 Möglichkeiten beträgt.

Sich überschneidende Mengen

Kommt es aber vor, dass sich die Mengen X und Y schneiden, dann verwenden sie die Formel

, wobei X und Y Mengen sind und der Schnittbereich ist. Beispielprobleme

20 Personen sprechen Englisch und 10 sprechen Deutsch, davon 5 sowohl Englisch als auch Deutsch. Wie viele Personen gibt es insgesamt?

Antwort: 10+20-5=25 Personen.

Eulerkreise werden auch häufig zur visuellen Lösung des Problems verwendet. Zum Beispiel:

Von 100 Touristen, die eine Auslandsreise unternehmen, sprechen 30 Personen Deutsch, 28 Englisch, 42 Französisch gleichzeitig, 10 Englisch und Französisch, 5 Deutsch und Französisch, 3 alle drei Sprachen. Touristen sprechen keine Sprache?

Lösung: Lassen Sie uns den Zustand dieses Problems grafisch darstellen. Bezeichnen wir mit einem Kreis diejenigen, die Englisch können, einen anderen Kreis mit denen, die Französisch können, und einen dritten Kreis mit denen, die Deutsch können.

Drei Touristen sprechen alle drei Sprachen, was bedeutet, dass wir im allgemeinen Teil der Kreise die Nummer 3 eintragen. 10 Personen sprechen Englisch und Französisch, 3 davon sprechen auch Deutsch. Folglich sprechen 10-3=7 Personen nur Englisch und Französisch.

Ebenso stellen wir fest, dass 8-3 = 5 Personen nur Englisch und Deutsch sprechen und 5-3 = 2 Touristen Deutsch und Französisch sprechen. Diese Daten tragen wir an den entsprechenden Stellen ein.

Lassen Sie uns nun ermitteln, wie viele Menschen nur eine der aufgeführten Sprachen sprechen. 30 Personen sprechen Deutsch, aber 5+3+2=10 von ihnen sprechen andere Sprachen, daher sprechen nur 20 Personen Deutsch. Ebenso stellen wir fest, dass 13 Personen allein Englisch sprechen und 30 Personen allein Französisch sprechen.

Dem Problem zufolge sind es nur 100 Touristen. 20+13+30+5+7+2+3=80 Touristen beherrschen mindestens eine Sprache, daher sprechen 20 Personen keine dieser Sprachen.

Platzierungen ohne Wiederholung.

Wie viele Telefonnummern können aus jeweils 6 Ziffern bestehen, sodass alle Ziffern unterschiedlich sind?

Dies ist ein Beispiel für ein Platzierungsproblem ohne Wiederholung. Hier sind 10 Zahlen zu je 6 platziert. Optionen, bei denen die gleichen Zahlen in unterschiedlicher Reihenfolge vorliegen, gelten als unterschiedlich.

Wenn eine X-Menge aus n Elementen besteht, m≤n, dann heißt die Anordnung ohne Wiederholung von n Elementen der Menge X in m eine geordnete Menge X mit m Elementen. Eine geordnete Menge X mit m Elementen heißt.

Die Anzahl aller Anordnungen von n Elementen um m wird mit bezeichnet

N! - n-Fakultät (Fakultätsfaktor) ist das Produkt von Zahlen in der natürlichen Reihe von 1 bis zu einer beliebigen Zahl n Aufgabe

Auf wie viele Arten können vier Jungen vier von sechs Mädchen zum Tanzen auffordern?

Lösung: Zwei Jungen können nicht gleichzeitig dasselbe Mädchen einladen. Und die Möglichkeiten, bei denen dieselben Mädchen mit verschiedenen Jungen tanzen, gelten daher als unterschiedlich:

360 Optionen möglich.

Permutationen ohne Wiederholung

Im Fall von n=m (siehe Platzierungen ohne Wiederholung) von n Elementen von m spricht man von einer Permutation der Menge x.

Die Anzahl aller Permutationen von n Elementen wird mit P n bezeichnet.

Für n=m gilt:

Beispielprobleme

Wie viele verschiedene sechsstellige Zahlen können aus den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4,5 gebildet werden, wenn sich die Ziffern in der Zahl nicht wiederholen?

1) Ermitteln Sie die Anzahl aller Permutationen aus diesen Zahlen: P 6 =6!=720

2) 0 darf nicht vor einer Zahl stehen, daher muss von dieser Zahl die Anzahl der Permutationen abgezogen werden, in denen 0 vorangestellt ist. Und das ist P 5 =5!=120.

P 6 -P 5 =720-120=600

Frecher Affe

Ja, der klumpfüßige Mischka

Wir begannen, ein Quartett zu spielen

Hör auf, Brüder, hör auf! –

Affe schreit, - warte!

Wie soll die Musik laufen?

Schließlich sitzt man ja nicht so da...

Und hin und wieder wechselten sie die Plätze – wieder läuft die Musik nicht so gut.

Es sollte beachtet werden, dass die Kombinatorik ein eigenständiger Zweig der höheren Mathematik ist (und nicht Teil der höheren Mathematik) und zu dieser Disziplin umfangreiche Lehrbücher geschrieben wurden, deren Inhalt manchmal nicht einfacher ist als der der abstrakten Algebra. Ein kleiner Teil des theoretischen Wissens wird uns jedoch ausreichen und ich werde in diesem Artikel versuchen, die Grundlagen des Themas mit typischen kombinatorischen Problemen in einer zugänglichen Form zu analysieren. Und viele von euch werden mir helfen ;-)

Was werden wir machen? Im engeren Sinne ist Kombinatorik die Berechnung verschiedener Kombinationen, die aus einer bestimmten Menge erstellt werden können diskret Objekte. Unter Objekten versteht man alle isolierten Objekte oder Lebewesen – Menschen, Tiere, Pilze, Pflanzen, Insekten usw. Dabei ist es der Kombinatorik völlig egal, dass das Set aus einem Teller Grießbrei, einem Lötkolben und einem Sumpffrosch besteht. Grundsätzlich ist es wichtig, dass diese Objekte aufgezählt werden können – es gibt drei davon (Diskretion) und das Wichtigste ist, dass keines von ihnen identisch ist.

Wir haben uns mit viel beschäftigt, jetzt mit den Kombinationen. Die häufigsten Arten von Kombinationen sind Permutationen von Objekten, deren Auswahl aus einer Menge (Kombination) und Verteilung (Platzierung). Mal sehen, wie das jetzt passiert:

Permutationen, Kombinationen und Platzierungen ohne Wiederholung

Haben Sie keine Angst vor obskuren Begriffen, zumal einige davon wirklich nicht sehr gut sind. Beginnen wir mit dem Ende des Titels – was bedeutet „ keine Wiederholungen„? Das bedeutet, dass wir in diesem Abschnitt Mengen betrachten, die bestehen aus verschieden Objekte. Zum Beispiel ... nein, ich biete keinen Brei mit Lötkolben und Frosch an, es ist besser, etwas Leckereres zu haben =) Stellen Sie sich vor, auf dem Tisch vor Ihnen sind ein Apfel, eine Birne und eine Banane aufgetaucht ( Wenn Sie sie haben, kann die Situation in der Realität simuliert werden. Wir legen die Früchte von links nach rechts in der folgenden Reihenfolge an:

Apfel / Birne / Banane

Frage eins: Auf wie viele Arten können sie neu angeordnet werden?

Eine Kombination wurde oben bereits beschrieben und mit dem Rest gibt es keine Probleme:

Apfel / Banane / Birne
Birne / Apfel / Banane
Birne / Banane / Apfel
Banane / Apfel / Birne
Banane / Birne / Apfel

Gesamt: 6 Kombinationen oder 6 Permutationen.

Okay, es war nicht schwer, alle möglichen Fälle aufzulisten, aber was ist, wenn es mehr Objekte gibt? Mit nur vier verschiedenen Früchten erhöht sich die Zahl der Kombinationen deutlich!

Bitte öffnen Sie das Referenzmaterial (Es ist praktisch, das Handbuch auszudrucken) und finden Sie in Punkt Nr. 2 die Formel für die Anzahl der Permutationen.

Kein Aufwand – 3 Objekte können auf unterschiedliche Weise neu angeordnet werden.

Frage zwei: Auf wie viele Arten kann man a) eine Frucht, b) zwei Früchte, c) drei Früchte, d) mindestens eine Frucht wählen?

Warum wählen? Also haben wir im vorherigen Punkt Appetit gemacht – um zu essen! =)

a) Eine Frucht kann natürlich auf drei Arten ausgewählt werden: Nehmen Sie entweder einen Apfel, eine Birne oder eine Banane. Die formale Berechnung erfolgt nach Formel für die Anzahl der Kombinationen:

Der Eintrag ist in diesem Fall wie folgt zu verstehen: „Auf wie viele Arten kann man eine von drei Früchten auswählen?“

b) Listen wir alle möglichen Kombinationen zweier Früchte auf:

Apfel und Birne;
Apfel und Banane;
Birne und Banane.

Die Anzahl der Kombinationen lässt sich leicht mit der gleichen Formel überprüfen:

Der Eintrag ist ähnlich zu verstehen: „Auf wie viele Arten kann man zwei von drei Früchten auswählen?“

c) Und schließlich gibt es nur eine Möglichkeit, drei Früchte auszuwählen:

Die Formel für die Anzahl der Kombinationen bleibt übrigens auch für eine leere Stichprobe sinnvoll:
Auf diese Weise können Sie sich keine einzige Frucht aussuchen, sondern einfach nichts nehmen und fertig.

d) Auf wie viele Arten können Sie gehen? mindestens ein Obst? Die Bedingung „mindestens eine“ impliziert, dass wir mit 1 Frucht (beliebiger) oder 2 beliebigen Früchten oder allen 3 Früchten zufrieden sind:
Mit diesen Methoden können Sie mindestens eine Frucht auswählen.

Leser, die die Einführungslektion sorgfältig studiert haben Wahrscheinlichkeitstheorie, wir haben schon etwas erraten. Aber zur Bedeutung des Pluszeichens später mehr.

Um die nächste Frage zu beantworten, brauche ich zwei Freiwillige... ...Nun, da keiner will, dann rufe ich dich ins Forum =)

Frage drei: Auf wie viele Arten kannst du jeweils eine Frucht an Dasha und Natasha verteilen?

Um zwei Früchte zu verteilen, müssen Sie diese zunächst auswählen. Gemäß Absatz „be“ der vorherigen Frage kann dies auf verschiedene Arten geschehen, ich werde sie umschreiben:

Apfel und Birne;
Apfel und Banane;
Birne und Banane.

Aber jetzt wird es doppelt so viele Kombinationen geben. Betrachten Sie zum Beispiel das erste Fruchtpaar:
Sie können Dascha mit einem Apfel und Natascha mit einer Birne behandeln;
oder umgekehrt – Dascha bekommt die Birne und Natascha den Apfel.

Und eine solche Permutation ist für jedes Fruchtpaar möglich.

Stellen Sie sich die gleiche Studentengruppe vor, die zum Tanz gegangen ist. Auf wie viele Arten können ein Junge und ein Mädchen zusammenpassen?

Auf verschiedene Arten können Sie 1 jungen Mann auswählen;
Möglichkeiten, wie Sie ein Mädchen auswählen können.

Also ein junger Mann Und Sie können ein Mädchen auswählen: Wege.

Wenn aus jedem Satz 1 Objekt ausgewählt wird, gilt das folgende Prinzip zum Zählen von Kombinationen: „ jeden Ein Objekt aus einer Menge kann ein Paar bilden mit jedem Objekt einer anderen Menge.

Das heißt, Oleg kann jedes der 13 Mädchen zum Tanzen einladen, Evgeny kann auch jedes der dreizehn einladen und der Rest der jungen Leute hat eine ähnliche Wahl. Gesamt: mögliche Paare.

Es ist zu beachten, dass in diesem Beispiel die „Geschichte“ der Paarbildung keine Rolle spielt; Wenn wir jedoch die Initiative berücksichtigen, muss die Anzahl der Kombinationen verdoppelt werden, da jedes der 13 Mädchen auch jeden Jungen zum Tanzen einladen kann. Es hängt alles von den Bedingungen einer bestimmten Aufgabe ab!

Ein ähnliches Prinzip gilt für komplexere Kombinationen, zum Beispiel: Auf wie viele Arten kann man zwei junge Männer auswählen? Und zwei Mädchen, die an einem KVN-Sketch teilnehmen?

Union UND weist deutlich darauf hin, dass die Kombinationen multipliziert werden müssen:

Mögliche Künstlergruppen.

Mit anderen Worten, jede mit denen ein Paar Jungen (45 einzigartige Paare) auftreten kann beliebig ein Paar Mädchen (78 einzigartige Paare). Und wenn wir die Rollenverteilung zwischen den Teilnehmern berücksichtigen, wird es noch mehr Kombinationen geben. ...Das möchte ich unbedingt, aber ich werde trotzdem davon absehen, weiterzumachen, um dir keine Abneigung gegen das Studentenleben einzuflößen =).

Die Regel zur Multiplikation von Kombinationen gilt auch für eine größere Anzahl von Multiplikatoren:

Aufgabe 8

Wie viele dreistellige Zahlen gibt es, die durch 5 teilbar sind?

Lösung: Der Klarheit halber kennzeichnen wir diese Zahl mit drei Sternchen: ***

IN Hunderterplatz Sie können jede beliebige Zahl schreiben (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oder 9). Null ist nicht geeignet, da die Zahl in diesem Fall nicht mehr dreistellig ist.

Aber in Zehnerstelle(„in der Mitte“) können Sie eine von 10 Ziffern wählen: .

Gemäß der Bedingung muss die Zahl durch 5 teilbar sein. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 5 oder 0 endet. Wir geben uns also mit 2 Ziffern in der niedrigstwertigen Ziffer zufrieden.

Insgesamt gibt es: dreistellige Zahlen, die durch 5 teilbar sind.

In diesem Fall wird die Arbeit wie folgt entschlüsselt: „9 Möglichkeiten, wie Sie eine Zahl auswählen können Hunderterplatz Und 10 Möglichkeiten, eine Nummer auszuwählen Zehnerstelle Und 2 Wege hinein Einheitenziffer»

Oder noch einfacher: „ jede von 9 Ziffern bis Hunderterplatz vereint mit jedem aus 10 Ziffern Zehnerstelle und mit jedem von zwei Ziffern bis Einheitenziffer».

Antwort: 180

Und jetzt…

Ja, ich hätte fast den versprochenen Kommentar zu Problem Nr. 5 vergessen, bei dem Bor, Dima und Volodya auf unterschiedliche Weise jeweils eine Karte erhalten können. Die Multiplikation hat hier die gleiche Bedeutung: Möglichkeiten, 3 Karten aus dem Stapel zu entfernen UND in jedem Beispiel: Ordnen Sie sie auf verschiedene Arten neu an.

Und jetzt ein Problem, das Sie selbst lösen müssen ... Jetzt werde ich mir etwas Interessanteres einfallen lassen ... es soll um dieselbe russische Version von Blackjack gehen:

Problem 9

Wie viele Gewinnkombinationen aus 2 Karten gibt es beim „Punkt“-Spiel?

Für diejenigen, die es nicht wissen: Die Gewinnkombination ist 10 + AS (11 Punkte) = 21 Punkte und betrachten wir die Gewinnkombination aus zwei Assen.

(Die Reihenfolge der Karten in einem Paar spielt keine Rolle)

Eine kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Betrachten Sie das Beispiel übrigens nicht als primitiv. Blackjack ist fast das einzige Spiel, für das es einen mathematisch basierten Algorithmus gibt, der es Ihnen ermöglicht, das Casino zu schlagen. Interessierte finden hier problemlos zahlreiche Informationen zur optimalen Strategie und Taktik. Zwar landen solche Meister recht schnell auf der schwarzen Liste aller Betriebe =)

Es ist an der Zeit, den behandelten Stoff durch ein paar solide Aufgaben zu festigen:

Aufgabe 10

Vasya hat 4 Katzen zu Hause.

a) Auf wie viele Arten können Katzen in den Ecken des Raumes sitzen?
b) Auf wie viele Arten kann man Katzen spazieren gehen lassen?
c) Auf wie viele Arten kann Vasya zwei Katzen hochheben (eine zu seiner Linken, die andere zu seiner Rechten)?

Lass uns entscheiden: Erstens sollten Sie noch einmal darauf achten, worum es bei dem Problem geht anders Gegenstände (auch wenn die Katzen eineiige Zwillinge sind). Dies ist eine sehr wichtige Bedingung!

a) Schweigen der Katzen. Vorbehaltlich dieser Ausführung alle Katzen auf einmal
+ Ihr Standort ist wichtig, daher gibt es hier Permutationen:
Mit diesen Methoden können Sie Katzen in den Ecken des Raumes platzieren.

Ich wiederhole, dass es beim Permutieren nur auf die Anzahl der verschiedenen Objekte und ihre relativen Positionen ankommt. Je nach Lust und Laune kann Vasya die Tiere im Halbkreis auf dem Sofa, in einer Reihe auf der Fensterbank usw. platzieren. – In allen Fällen wird es 24 Permutationen geben. Der Einfachheit halber können sich Interessierte vorstellen, dass Katzen mehrfarbig sind (zum Beispiel weiß, schwarz, rot und getigert) und alle möglichen Kombinationen auflisten.

b) Auf wie viele Arten kann man Katzen spazieren gehen lassen?

Es wird davon ausgegangen, dass Katzen nur durch die Tür spazieren gehen, und die Frage impliziert Gleichgültigkeit hinsichtlich der Anzahl der Tiere – 1, 2, 3 oder alle 4 Katzen können spazieren gehen.

Wir zählen alle möglichen Kombinationen:

In gewisser Weise können Sie eine Katze (eine der vier) spazieren gehen lassen;
Möglichkeiten, wie Sie zwei Katzen spazieren gehen lassen können (zählen Sie die Optionen selbst auf);
in gewisser Weise kann man drei Katzen spazieren gehen lassen (eine der vier sitzt zu Hause);
Auf diese Weise können Sie alle Katzen freilassen.

Sie haben wahrscheinlich vermutet, dass die resultierenden Werte zusammengefasst werden sollten:
So können Sie Katzen spazieren gehen lassen.

Für Enthusiasten biete ich eine komplizierte Version des Problems an – wenn jede Katze in jeder Stichprobe zufällig nach draußen gehen kann, sowohl durch die Tür als auch durch das Fenster im 10. Stock. Es wird eine spürbare Zunahme an Kombinationen geben!

c) Auf wie viele Arten kann Vasya zwei Katzen hochheben?

In der Situation geht es darum, nicht nur 2 Tiere auszuwählen, sondern sie auch in jede Hand zu legen:
Auf diese Weise können Sie 2 Katzen aufnehmen.

Zweite Lösung: Sie können mithilfe von Methoden zwei Katzen auswählen Und Wege zum Pflanzen jeden ein paar zur Hand:

Antwort: a) 24, b) 15, c) 12

Nun, um Ihr Gewissen zu beruhigen, etwas Konkreteres zum Thema Multiplikation von Kombinationen ... Lass Vasya 5 zusätzliche Katzen haben =) Auf wie viele Arten kann man 2 Katzen spazieren gehen lassen? Und 1 Katze?

Das heißt, mit jede ein paar Katzen können freigelassen werden jeden Katze.

Ein weiteres Knopfakkordeon zur eigenständigen Lösung:

Aufgabe 11

Drei Passagiere bestiegen den Aufzug eines 12-stöckigen Gebäudes. Jeder, unabhängig von den anderen, kann mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder Etage (ab der 2. Etage) aussteigen. Auf wie viele Arten:

1) Passagiere können auf derselben Etage aussteigen (Ausstiegsreihenfolge spielt keine Rolle);
2) Auf einer Etage können zwei Personen aussteigen, auf der anderen eine dritte.
3) Personen können auf verschiedenen Etagen aussteigen;
4) Können Passagiere den Aufzug verlassen?

Und hier wird oft noch einmal gefragt, ich stelle klar: Wenn 2 oder 3 Personen auf derselben Etage aussteigen, spielt die Reihenfolge des Ausstiegs keine Rolle. DENKEN Sie, verwenden Sie Formeln und Regeln zum Addieren/Multiplizieren von Kombinationen. Bei Schwierigkeiten ist es sinnvoll, dass Fahrgäste Namen nennen und spekulieren, in welchen Kombinationen sie den Aufzug verlassen können. Es besteht kein Grund zur Aufregung, wenn beispielsweise etwas nicht klappt. Punkt Nr. 2 ist ziemlich heimtückisch. Einer der Leser hat jedoch eine einfache Lösung gefunden, und ich bedanke mich noch einmal für Ihre Briefe!

Vollständige Lösung mit detaillierten Kommentaren am Ende der Lektion.

Der letzte Absatz ist den Kombinationen gewidmet, die ebenfalls recht häufig vorkommen – meiner subjektiven Einschätzung nach in etwa 20-30 % der kombinatorischen Probleme:

Permutationen, Kombinationen und Platzierungen mit Wiederholungen

Die aufgeführten Kombinationsarten sind in Absatz Nr. 5 des Referenzmaterials aufgeführt Grundformeln der Kombinatorik Einige davon sind jedoch beim ersten Lesen möglicherweise nicht ganz klar. In diesem Fall empfiehlt es sich, sich zunächst mit praktischen Beispielen vertraut zu machen und erst dann die allgemeine Formulierung zu verstehen. Gehen:

Permutationen mit Wiederholungen

Bei Permutationen mit Wiederholungen, wie bei „normalen“ Permutationen, all die vielen Objekte auf einmal, aber eines gibt es: In dieser Menge wiederholen sich ein oder mehrere Elemente (Objekte). Erfüllen Sie den nächsten Standard:

Aufgabe 12

Wie viele verschiedene Buchstabenkombinationen erhält man, wenn man Karten mit den folgenden Buchstaben neu anordnet: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

Lösung: Für den Fall, dass alle Buchstaben unterschiedlich wären, müsste eine triviale Formel angewendet werden, aber es ist völlig klar, dass für den vorgeschlagenen Kartensatz einige Manipulationen „leer“ funktionieren, beispielsweise wenn Sie zwei beliebige Karten vertauschen Mit den Buchstaben „K“ erhalten Sie in jedem Wort das gleiche Wort. Darüber hinaus können die Karten physisch sehr unterschiedlich sein: Eine kann rund sein und den Buchstaben „K“ darauf aufdrucken, die andere kann quadratisch sein und den Buchstaben „K“ darauf zeichnen. Aber je nach Bedeutung der Aufgabe auch solche Karten gelten als gleich, da die Bedingung nach Buchstabenkombinationen fragt.

Alles ist denkbar einfach – nur 11 Karten, inklusive des Buchstabens:

K – dreimal wiederholt;
O – dreimal wiederholt;
L – 2 Mal wiederholt;
b – 1 Mal wiederholt;
H – 1 Mal wiederholt;
Und - 1 Mal wiederholt.

Überprüfen Sie: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, was überprüft werden musste.

Nach der Formel Anzahl der Permutationen mit Wiederholungen:
Es können verschiedene Buchstabenkombinationen erhalten werden. Mehr als eine halbe Million!

Um schnell einen großen Faktorwert zu berechnen, ist es praktisch, die Standard-Excel-Funktion zu verwenden: Geben Sie in eine beliebige Zelle ein =FAKT(11) und drücke Eingeben.

In der Praxis ist es durchaus akzeptabel, die allgemeine Formel nicht zu schreiben und zusätzlich die Einheitsfakultäten wegzulassen:

Vorabkommentare zu wiederholten Briefen sind jedoch erforderlich!

Antwort: 554400

Ein weiteres typisches Beispiel für Permutationen mit Wiederholung ist das Problem der Schachfigurenplatzierung, das im Lagerhaus zu finden ist fertige Lösungen im entsprechenden PDF. Und für eine eigenständige Lösung habe ich mir eine weniger formelhafte Aufgabe ausgedacht:

Aufgabe 13

Alexey treibt Sport, und zwar 4 Tage die Woche - Leichtathletik, 2 Tage Krafttraining und 1 Tag Ruhe. Auf wie viele Arten kann er einen Wochenplan für sich selbst erstellen?

Die Formel funktioniert hier nicht, da sie zufällige Vertauschungen berücksichtigt (zum Beispiel das Vertauschen der Kraftübungen am Mittwoch mit den Kraftübungen am Donnerstag). Und noch einmal: Tatsächlich können sich die gleichen beiden Krafttrainingseinheiten stark voneinander unterscheiden, aber im Kontext der Aufgabe (aus Sicht des Zeitplans) werden sie als die gleichen Elemente betrachtet.

Zweizeilige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Kombinationen mit Wiederholungen

Charakteristisch für diese Art der Kombination ist, dass die Stichprobe aus mehreren Gruppen gezogen wird, die jeweils aus identischen Objekten bestehen.

Jeder hat heute hart gearbeitet, also ist es Zeit, sich zu erfrischen:

Aufgabe 14

Die Mensa verkauft Würstchen im Teig, Käsekuchen und Donuts. Auf wie viele Arten kann man fünf Kuchen kaufen?

Lösung: Achten Sie sofort auf das typische Kriterium für Kombinationen mit Wiederholungen – je nach Bedingung wird nicht eine Menge von Objekten als solche zur Auswahl angeboten, sondern Verschiedene Arten Gegenstände; Es wird davon ausgegangen, dass mindestens fünf Hotdogs, fünf Käsekuchen und fünf Donuts im Angebot sind. Die Kuchen in jeder Gruppe sind natürlich unterschiedlich - denn absolut identische Donuts können nur am Computer simuliert werden =) Allerdings sind die physikalischen Eigenschaften der Kuchen für den Zweck des Problems nicht von Bedeutung, und die Hot Dogs / Käsekuchen / Donuts in ihren Gruppen gelten als gleich.

Was könnte in der Probe enthalten sein? Zunächst ist zu beachten, dass es in der Probe auf jeden Fall identische Kuchen geben wird (da wir 5 Stück auswählen und 3 Sorten zur Auswahl stehen). Hier gibt es Optionen für jeden Geschmack: 5 Hot Dogs, 5 Käsekuchen, 5 Donuts, 3 Hot Dogs + 2 Käsekuchen, 1 Hot Dog + 2 Käsekuchen + 2 Donuts usw.

Wie bei „normalen“ Kombinationen spielt die Reihenfolge der Auswahl und Platzierung der Kuchen in der Auswahl keine Rolle – Sie wählen einfach 5 Stücke und das war’s.

Wir verwenden die Formel Anzahl der Kombinationen mit Wiederholungen:
Mit dieser Methode können Sie 5 Kuchen kaufen.

Guten Appetit!

Antwort: 21

Welche Schlussfolgerung lässt sich aus vielen kombinatorischen Problemen ziehen?

Manchmal ist es am schwierigsten, den Zustand zu verstehen.

Ein ähnliches Beispiel für eine unabhängige Lösung:

Aufgabe 15

Das Portemonnaie enthält eine ziemlich große Anzahl von 1-, 2-, 5- und 10-Rubel-Münzen. Auf wie viele Arten können drei Münzen aus einer Brieftasche entfernt werden?

Beantworten Sie zur Selbstkontrolle ein paar einfache Fragen:

1) Können alle Münzen in der Stichprobe unterschiedlich sein?
2) Nennen Sie die „billigste“ und „teuerste“ Münzkombination.

Lösung und Antworten am Ende der Lektion.

Aus meiner persönlichen Erfahrung kann ich sagen, dass Kombinationen mit Wiederholungen in der Praxis am seltensten vorkommen, was man von der folgenden Art von Kombinationen nicht sagen kann:

Platzierungen mit Wiederholungen

Aus einem Satz bestehend aus Elementen werden Elemente ausgewählt, und die Reihenfolge der Elemente in jeder Auswahl ist wichtig. Und alles wäre gut, aber ein ziemlich unerwarteter Witz ist, dass wir jedes Objekt des Originalsets so oft auswählen können, wie wir möchten. Bildlich gesprochen: „Die Menge wird nicht kleiner werden.“

Wann passiert das? Ein typisches Beispiel ist ein Zahlenschloss mit mehreren Scheiben, aber aufgrund der technologischen Entwicklung ist es relevanter, seinen digitalen Nachkommen zu berücksichtigen:

Aufgabe 16

Wie viele vierstellige PIN-Codes gibt es?

Lösung: Um das Problem zu lösen, reicht es tatsächlich aus, die Regeln der Kombinatorik zu kennen: In gewisser Weise können Sie die erste Ziffer des PIN-Codes auswählen Und Wege - die zweite Ziffer des PIN-Codes Und in vielerlei Hinsicht - drittens Und die gleiche Zahl - die vierte. Nach der Regel der Multiplikation von Kombinationen kann ein vierstelliger PIN-Code also auf folgende Weise zusammengesetzt werden:

Und jetzt mit der Formel. Je nach Bedingung wird uns ein Zahlensatz angeboten, aus dem die Zahlen ausgewählt und geordnet werden in einer bestimmten Reihenfolge, während die Zahlen in der Stichprobe wiederholt werden können (d. h. jede Ziffer des Originalsatzes kann beliebig oft verwendet werden). Nach der Formel für die Anzahl der Platzierungen mit Wiederholungen:

Antwort: 10000

Was mir hier in den Sinn kommt... ...wenn der Geldautomat die Karte nach dem dritten erfolglosen Versuch, den PIN-Code einzugeben, „frisst“, sind die Chancen, sie zufällig zu ergattern, sehr gering.

Und wer hat gesagt, dass Kombinatorik keine praktische Bedeutung hat? Eine kognitive Aufgabe für alle Leser der Seite:

Aufgabe 17

Laut Landesnorm besteht ein Autokennzeichen aus 3 Zahlen und 3 Buchstaben. In diesem Fall ist eine Zahl mit drei Nullen nicht akzeptabel und es werden Buchstaben aus der Menge A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X ausgewählt (es werden nur kyrillische Buchstaben verwendet, deren Schreibweise mit lateinischen Buchstaben übereinstimmt).

Wie viele verschiedene Kennzeichen können für eine Region erstellt werden?

Übrigens nicht so viele davon. In großen Regionen reicht diese Menge nicht aus und daher gibt es für sie mehrere Codes für die Inschrift RUS.

Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion. Vergessen Sie nicht, die Regeln der Kombinatorik anzuwenden ;-) ...Ich wollte zeigen, was exklusiv war, aber es stellte sich heraus, dass es nicht exklusiv war =) Ich habe mir Wikipedia angesehen - dort gibt es Berechnungen, allerdings ohne Kommentare. Obwohl es aus Bildungsgründen wahrscheinlich nur wenige Leute gelöst haben.

Unsere spannende Lektion ist zu Ende, und abschließend möchte ich sagen, dass Sie Ihre Zeit nicht verschwendet haben – denn kombinatorische Formeln finden eine weitere wichtige praktische Anwendung: Sie finden sich in verschiedenen Problemen in Wahrscheinlichkeitstheorie,
und in Probleme der klassischen Wahrscheinlichkeitsbestimmung– besonders oft =)

Vielen Dank an alle für die aktive Teilnahme und bis bald!

Lösungen und Antworten:

Aufgabe 2: Lösung: Finden Sie die Anzahl aller möglichen Permutationen von 4 Karten:

Wenn an erster Stelle eine Karte mit einer Null platziert wird, wird die Zahl dreistellig, daher sollten diese Kombinationen ausgeschlossen werden. An erster Stelle steht eine Null, dann können die restlichen 3 Ziffern in den unteren Ziffern auf unterschiedliche Weise neu angeordnet werden.

Notiz : Weil Da es nur wenige Karten gibt, ist es einfach, alle Optionen hier aufzulisten:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Somit können wir aus der vorgeschlagenen Menge Folgendes machen:
24 – 6 = 18 vierstellige Zahlen
Antwort : 18

Aufgabe 4: Lösung: Auf verschiedene Arten können Sie 3 von 36 Karten auswählen. Und
2) Das „billigste“ Set enthält 3 Rubelmünzen und das „teuerste“ Set enthält 3 Zehn-Rubel-Münzen.

Aufgabe 17: Lösung: Mit diesen Methoden können Sie eine digitale Kombination eines Autokennzeichens erstellen und eines davon (000) ausschließen: .
Mit diesen Methoden können Sie eine Buchstabenkombination aus einem Kennzeichen erstellen.
Nach der Regel der Multiplikation von Kombinationen kann die Summe gebildet werden:
Nummernschilder
(jede digitale Kombination wird kombiniert mit jedem Buchstabenkombination).
Antwort : 1726272