Grundlegendes Konzept
Erinnern wir uns zunächst an die Definition gerade, ungerade und periodische Funktionen.
Definition 2
Eine gerade Funktion ist eine Funktion, deren Wert sich nicht ändert, wenn sich das Vorzeichen der unabhängigen Variablen ändert:
Definition 3
Eine Funktion, die ihre Werte in regelmäßigen Abständen wiederholt:
T – Periode der Funktion.
Gerade und ungerade trigonometrische Funktionen
Betrachten Sie die folgende Abbildung (Abb. 1):
Bild 1.
Hier sind $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ und $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ Vektoren mit Einheitslänge, symmetrisch zur $Ox$-Achse.
Es ist offensichtlich, dass die Koordinaten dieser Vektoren durch die folgenden Beziehungen zusammenhängen:
Da die trigonometrischen Funktionen von Sinus und Cosinus mithilfe des trigonometrischen Einheitskreises bestimmt werden können, erhalten wir, dass die Sinusfunktion ungerade und die Cosinusfunktion eine gerade Funktion ist, das heißt:
Periodizität trigonometrischer Funktionen
Betrachten Sie die folgende Abbildung (Abb. 2).
Figur 2.
Hier ist $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ ein Vektor mit Einheitslänge.
Machen wir eine vollständige Revolution mit dem Vektor $\overrightarrow(OA)$. Das heißt, drehen wir diesen Vektor um $2\pi $ im Bogenmaß. Danach kehrt der Vektor vollständig in seine ursprüngliche Position zurück.
Da die trigonometrischen Funktionen von Sinus und Cosinus mithilfe des trigonometrischen Einheitskreises bestimmt werden können, erhalten wir dies
Das heißt, die Sinus- und Kosinusfunktionen sind periodische Funktionen mit der kleinsten Periode $T=2\pi $.
Betrachten wir nun die Funktionen von Tangens und Kotangens. Da $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, dann
Da $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, dann
Beispiele für Probleme mit Parität, Ungeradheit und Periodizität trigonometrischer Funktionen
Beispiel 1
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Da Tangens eine periodische Funktion mit einer minimalen Periode $(360)^0$ ist, erhalten wir
b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$
Da der Kosinus eine gerade und periodische Funktion mit einer Mindestperiode von $2\pi $ ist, erhalten wir
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
Da Sinus eine ungerade und periodische Funktion mit einer Mindestperiode von $(360)^0$ ist, erhalten wir
Grundlegendes Konzept
Erinnern wir uns zunächst an die Definition gerade, ungerade und periodische Funktionen.
Definition 2
Eine gerade Funktion ist eine Funktion, deren Wert sich nicht ändert, wenn sich das Vorzeichen der unabhängigen Variablen ändert:
Definition 3
Eine Funktion, die ihre Werte in regelmäßigen Abständen wiederholt:
T – Periode der Funktion.
Gerade und ungerade trigonometrische Funktionen
Betrachten Sie die folgende Abbildung (Abb. 1):
Bild 1.
Hier sind $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ und $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ Vektoren mit Einheitslänge, symmetrisch zur $Ox$-Achse.
Es ist offensichtlich, dass die Koordinaten dieser Vektoren durch die folgenden Beziehungen zusammenhängen:
Da die trigonometrischen Funktionen von Sinus und Cosinus mithilfe des trigonometrischen Einheitskreises bestimmt werden können, erhalten wir, dass die Sinusfunktion ungerade und die Cosinusfunktion eine gerade Funktion ist, das heißt:
Periodizität trigonometrischer Funktionen
Betrachten Sie die folgende Abbildung (Abb. 2).
Figur 2.
Hier ist $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ ein Vektor mit Einheitslänge.
Machen wir eine vollständige Revolution mit dem Vektor $\overrightarrow(OA)$. Das heißt, drehen wir diesen Vektor um $2\pi $ im Bogenmaß. Danach kehrt der Vektor vollständig in seine ursprüngliche Position zurück.
Da die trigonometrischen Funktionen von Sinus und Cosinus mithilfe des trigonometrischen Einheitskreises bestimmt werden können, erhalten wir dies
Das heißt, die Sinus- und Kosinusfunktionen sind periodische Funktionen mit der kleinsten Periode $T=2\pi $.
Betrachten wir nun die Funktionen von Tangens und Kotangens. Da $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, dann
Da $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, dann
Beispiele für Probleme mit Parität, Ungeradheit und Periodizität trigonometrischer Funktionen
Beispiel 1
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Da Tangens eine periodische Funktion mit einer minimalen Periode $(360)^0$ ist, erhalten wir
b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$
Da der Kosinus eine gerade und periodische Funktion mit einer Mindestperiode von $2\pi $ ist, erhalten wir
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
Da Sinus eine ungerade und periodische Funktion mit einer Mindestperiode von $(360)^0$ ist, erhalten wir
Die Abhängigkeit einer Variablen y von einer Variablen x, bei der jeder Wert von x einem einzelnen Wert von y entspricht, wird als Funktion bezeichnet. Zur Bezeichnung verwenden Sie die Notation y=f(x). Jede Funktion hat eine Reihe grundlegender Eigenschaften, wie etwa Monotonie, Parität, Periodizität und andere.
Eigenschaften von Parität und Periodizität
Betrachten wir die Eigenschaften von Parität und Periodizität am Beispiel grundlegender trigonometrischer Funktionen genauer: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).
Eine Funktion y=f(x) wird auch dann aufgerufen, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:
2. Der Wert der Funktion am Punkt x, der zum Definitionsbereich der Funktion gehört, muss gleich dem Wert der Funktion am Punkt -x sein. Das heißt, für jeden Punkt x muss die folgende Gleichheit aus dem Definitionsbereich der Funktion erfüllt sein: f(x) = f(-x).
Wenn Sie einen Graphen einer geraden Funktion zeichnen, ist dieser symmetrisch zur Oy-Achse.
Beispielsweise ist die trigonometrische Funktion y=cos(x) gerade.
Eigenschaften von Seltsamkeit und Periodizität
Eine Funktion y=f(x) heißt ungerade, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:
1. Der Definitionsbereich einer bestimmten Funktion muss in Bezug auf Punkt O symmetrisch sein. Das heißt, wenn ein Punkt a zum Definitionsbereich der Funktion gehört, muss der entsprechende Punkt -a auch zum Definitionsbereich gehören der gegebenen Funktion.
2. Für jeden Punkt x muss die folgende Gleichheit aus dem Definitionsbereich der Funktion erfüllt sein: f(x) = -f(x).
Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch in Bezug auf Punkt O – den Koordinatenursprung.
Beispielsweise sind die trigonometrischen Funktionen y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) ungerade.
Periodizität trigonometrischer Funktionen
Die Funktion y=f (x) heißt periodisch, wenn es eine bestimmte Zahl T!=0 (die sogenannte Periode der Funktion y=f (x)) gibt, so dass für jeden Wert von x, der zum Definitionsbereich von gehört der Funktion gehören auch die Zahlen x + T und x-T zum Definitionsbereich der Funktion und es gilt die Gleichheit f(x)=f(x+T)=f(x-T).
Es versteht sich, dass, wenn T die Periode der Funktion ist, die Zahl k*T, wobei k eine beliebige ganze Zahl außer Null ist, auch die Periode der Funktion ist. Basierend auf dem oben Gesagten stellen wir fest, dass jede periodische Funktion unendlich viele Perioden hat. Am häufigsten geht es im Gespräch um die kleinste Periode einer Funktion.
Die trigonometrischen Funktionen sin(x) und cos(x) sind periodisch, wobei die kleinste Periode 2*π beträgt.
Wenn wir einen Einheitskreis konstruieren, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt, und einen beliebigen Wert für das Argument festlegen x 0 und von der Achse aus zählen Ochse Ecke X 0, dann entspricht dieser Winkel auf dem Einheitskreis einem bestimmten Punkt A(Abb. 1) und seine Projektion auf die Achse Oh Es wird einen Punkt geben M. Länge des Segments OM gleich dem absoluten Wert der Abszisse des Punktes A. Gegebener Argumentwert x 0 Funktionswert abgebildet j=cos X 0 wie Abszissenpunkte A. Dementsprechend Punkt IN(X 0 ;bei 0) gehört zum Graphen der Funktion bei=cos X(Abb. 2). Wenn der Punkt A liegt rechts von der Achse OU, Der Stromsinus ist positiv, links dagegen negativ. Aber egal, Punkt A kann den Kreis nicht verlassen. Daher liegt der Kosinus im Bereich von –1 bis 1:
–1 = cos X = 1.
Zusätzliche Drehung um jeden Winkel, Vielfaches von 2 P, gibt den Punkt zurück A zum selben Ort. Daher die Funktion y = cos XP:
weil( X+ 2P) = cos X.
Wenn wir zwei Werte des Arguments nehmen, die im Absolutwert gleich, aber im Vorzeichen entgegengesetzt sind, X Und - X, Finden Sie die entsprechenden Punkte auf dem Kreis Ein x Und A-x. Wie in Abb. zu sehen ist. 3 ihre Projektion auf die Achse Oh ist der gleiche Punkt M. Deshalb
cos(– X) = cos ( X),
diese. Kosinus ist eine gerade Funktion, F(–X) = F(X).
Das bedeutet, dass wir die Eigenschaften der Funktion untersuchen können j=cos X auf dem Segment , und dann seine Parität und Periodizität berücksichtigen.
Bei X= 0 Punkt A liegt auf der Achse Oh, seine Abszisse ist 1 und daher cos 0 = 1. Mit zunehmender X Punkt A bewegt sich um den Kreis nach oben und links, seine Projektion erfolgt natürlich nur nach links und bei x = P/2 Kosinus wird gleich 0. Punkt A In diesem Moment steigt es auf seine maximale Höhe und bewegt sich dann weiter nach links, jedoch bereits absteigend. Seine Abszisse nimmt ab, bis sie den kleinsten Wert von –1 erreicht X= P. Also auf dem Intervall die Funktion bei=cos X nimmt monoton von 1 auf –1 ab (Abb. 4, 5).
Aus der Parität des Kosinus folgt, dass auf dem Intervall [– P, 0] steigt die Funktion monoton von –1 auf 1 und nimmt bei an einen Nullwert an x =–P/2. Nimmt man mehrere Perioden, erhält man eine wellenförmige Kurve (Abb. 6).
Also die Funktion j=cos X nimmt an Punkten Nullwerte an X= P/2 + kp, Wo k – jede ganze Zahl. An Punkten werden Maxima gleich 1 erreicht X= 2kp, d.h. in 2er-Schritten P und Mindestwerte gleich –1 an Punkten X= P + 2kp.
Funktion y = sin x.
An der Ecke des Einheitskreises X 0 entspricht einem Punkt A(Abb. 7), und seine Projektion auf die Achse OU Es wird einen Punkt geben N.Z Funktionswert y 0 = Sünde x 0 definiert als die Ordinate eines Punktes A. Punkt IN(Ecke X 0 ,bei 0) gehört zum Graphen der Funktion j= Sünde X(Abb. 8). Es ist klar, dass die Funktion y= Sünde X periodisch, seine Periode ist 2 P:
Sünde( X+ 2P) = Sünde ( X).
Für zwei Argumentwerte gilt: X Und - , Projektionen ihrer entsprechenden Punkte Ein x Und A-x pro Achse OU symmetrisch zum Punkt angeordnet UM. Deshalb
Sünde(- X) = –sin ( X),
diese. Sinus ist eine ungerade Funktion, f(– X) = –f( X) (Abb. 9).
Wenn der Punkt A relativ zu einem Punkt drehen UM in einem Winkel P/2 gegen den Uhrzeigersinn (mit anderen Worten, wenn der Winkel X erhöhen um P/2), dann ist seine Ordinate in der neuen Position gleich der Abszisse in der alten. Was bedeutet
Sünde( X+ P/2) = cos X.
Ansonsten ist der Sinus ein „später“ Kosinus P/2, da sich jeder Kosinuswert im Sinus „wiederholt“, wenn das Argument um zunimmt P/2. Und um einen Sinusgraphen zu erstellen, reicht es aus, den Kosinusgraphen um zu verschieben P/2 nach rechts (Abb. 10). Eine äußerst wichtige Eigenschaft des Sinus wird durch die Gleichheit ausgedrückt
Die geometrische Bedeutung der Gleichheit ist aus Abb. ersichtlich. 11. Hier X - das ist ein halber Bogen AB, wie in X - die Hälfte des entsprechenden Akkords. Das ist offensichtlich, je näher die Punkte kommen A Und IN die Länge der Sehne nähert sich zunehmend der Länge des Bogens an. Aus derselben Abbildung lässt sich die Ungleichung leicht ableiten
|Sünde X| x|, wahr für alle X.
Mathematiker nennen die Formel (*) eine bemerkenswerte Grenze. Daraus folgt insbesondere diese Sünde X» X bei klein X.
Funktionen bei= tg x, y=ctg X. Die anderen beiden trigonometrischen Funktionen, Tangens und Kotangens, lassen sich am einfachsten als die uns bereits bekannten Verhältnisse von Sinus und Cosinus definieren:
Tangens und Kotangens sind wie Sinus und Cosinus periodische Funktionen, aber ihre Perioden sind gleich P, d.h. Sie sind halb so groß wie Sinus und Cosinus. Der Grund dafür ist klar: Wenn Sinus und Cosinus beide das Vorzeichen ändern, ändert sich ihr Verhältnis nicht.
Da der Nenner des Tangens einen Kosinus enthält, ist der Tangens an den Punkten nicht definiert, an denen der Kosinus 0 ist - wann X= P/2 +kp. An allen anderen Punkten steigt sie monoton an. Direkte X= P/2 + kp für Tangente sind vertikale Asymptoten. An Punkten kp Tangente und Steigung sind 0 bzw. 1 (Abb. 12).
Der Kotangens ist nicht definiert, wenn der Sinus 0 ist (wenn x = kp). An anderen Stellen nimmt sie monoton und geradlinig ab x = kp – seine vertikalen Asymptoten. An Punkten x = p/2 +kp der Kotangens wird 0 und die Steigung an diesen Punkten beträgt –1 (Abb. 13).
Parität und Periodizität.
Eine Funktion wird aufgerufen, auch wenn F(–X) = F(X). Die Kosinus- und Sekantenfunktionen sind gerade und die Sinus-, Tangens-, Kotangens- und Kosekansfunktionen sind ungerade:
| Sünde (–α) = – Sünde α | tan (–α) = – tan α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| Sek. (–α) = Sek. α | cosec (–α) = – cosec α |
Paritätseigenschaften ergeben sich aus der Symmetrie der Punkte P ein und R- A (Abb. 14) relativ zur Achse X. Bei einer solchen Symmetrie ändert die Ordinate des Punktes das Vorzeichen (( X;bei) geht zu ( X; –у)). Alle Funktionen – periodisch, Sinus, Kosinus, Sekanten und Kosekans – haben eine Periode von 2 P, und Tangens und Kotangens - P:
| Sünde (α + 2 kπ) = sin α | cos(α+2 kπ) = cos α |
| tg(α+ kπ) = tan α | Kinderbett(α+ kπ) = cotg α |
| Sek. (α + 2 kπ) = Sek. α | cosec(α+2 kπ) = cosec α |
Die Periodizität von Sinus und Cosinus ergibt sich aus der Tatsache, dass alle Punkte P a+2 kp, Wo k= 0, ±1, ±2,…, zusammenfallen, und die Periodizität von Tangens und Kotangens beruht auf der Tatsache, dass die Punkte P ein + kp fallen abwechselnd in zwei diametral gegenüberliegende Punkte des Kreises und ergeben denselben Punkt auf der Tangentenachse.
Die Haupteigenschaften trigonometrischer Funktionen lassen sich in einer Tabelle zusammenfassen:
| Funktion | Domain | Mehrere Bedeutungen | Parität | Bereiche der Monotonie ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| Sünde X | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | seltsam | steigt mit X O((4 k – 1) P /2, (4k + 1) P/2), nimmt um ab X O((4 k + 1) P /2, (4k + 3) P/2) |
| cos X | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | sogar | Steigt mit X O((2 k – 1) P, 2kp), nimmt um ab X O(2 kp, (2k + 1) P) |
| tg X | X № P/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | seltsam | steigt mit X O((2 k – 1) P /2, (2k + 1) P /2) |
| ctg X | X № p k | (–Ґ , +Ґ ) | seltsam | nimmt ab X UM ( kp, (k + 1) P) |
| Sek X | X № P/2 + p k | (–Ґ , –1] UND [+1, +Ґ ) | sogar | Steigt mit X O(2 kp, (2k + 1) P), nimmt um ab X O((2 k– 1) p , 2 kp) |
| cosec X | X № p k | (–Ґ , –1] UND [+1, +Ґ ) | seltsam | steigt mit X O((4 k + 1) P /2, (4k + 3) P/2), nimmt um ab X O((4 k – 1) P /2, (4k + 1) P /2) |
Reduktionsformeln.
Nach diesen Formeln ist der Wert der trigonometrischen Funktion des Arguments a, wo P/2 a p kann auf den Wert der Argumentfunktion a reduziert werden, wobei 0 a p /2 entweder gleich oder komplementär dazu ist.
| Argument b |  -A |
+a | P-A | P+a | +a | +a | 2P-A |
| Sünde b | weil a | weil a | Sünde a | –Sünde a | –cos a | –cos a | –Sünde a |
| cos b | Sünde a | –Sünde a | –cos a | –cos a | –Sünde a | Sünde a | weil a |
Daher werden in den Tabellen der trigonometrischen Funktionen Werte nur für spitze Winkel angegeben und es genügt, sich beispielsweise auf Sinus und Tangens zu beschränken. Die Tabelle zeigt nur die am häufigsten verwendeten Formeln für Sinus und Cosinus. Daraus lassen sich leicht Formeln für Tangens und Kotangens erhalten. Beim Umwandeln einer Funktion aus einem Argument der Form kp/2 ± a, wo k– eine ganze Zahl, zu einer Funktion des Arguments a:
1) Der Funktionsname wird gespeichert, wenn k gerade, und ändert sich zu „komplementär“, wenn k seltsam;
2) Das Vorzeichen auf der rechten Seite stimmt mit dem Vorzeichen der reduzierbaren Funktion am Punkt überein kp/2 ± a, wenn der Winkel a spitz ist.
Zum Beispiel beim Gießen von ctg (a – P/2) Wir stellen sicher, dass ein – P/2 bei 0 a p /2 liegt im vierten Quadranten, wo der Kotangens negativ ist, und wir ändern gemäß Regel 1 den Namen der Funktion: ctg (a – P/2) = –tg a .
Additionsformeln.
Formeln für mehrere Winkel.
Diese Formeln leiten sich direkt aus den Additionsformeln ab:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
Sünde 3a = 3 Sünde a – 4 Sünde 3 a ;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
Die Formel für cos 3a wurde von François Viète bei der Lösung der kubischen Gleichung verwendet. Er war der erste, der Ausdrücke für cos fand N a und Sünde N a, die später auf einfachere Weise aus der Formel von Moivre erhalten wurden.
Wenn Sie in Formeln mit Doppelargumenten a durch /2 ersetzen, können diese in Halbwinkelformeln umgewandelt werden:
Universelle Substitutionsformeln.
Mithilfe dieser Formeln kann ein Ausdruck, der verschiedene trigonometrische Funktionen desselben Arguments beinhaltet, in einen rationalen Ausdruck einer einzelnen Funktion tg (a /2) umgeschrieben werden. Dies kann beim Lösen einiger Gleichungen nützlich sein:
 |
|
 |
 |
Formeln zur Umrechnung von Summen in Produkte und von Produkten in Summen.
Vor dem Aufkommen von Computern wurden diese Formeln zur Vereinfachung von Berechnungen verwendet. Berechnungen wurden mit logarithmischen Tabellen und später mit einem Rechenschieber durchgeführt, weil Logarithmen eignen sich am besten zum Multiplizieren von Zahlen, daher wurden alle ursprünglichen Ausdrücke in eine für die Logarithmisierung geeignete Form gebracht, d. h. zu Werken, zum Beispiel:
2 Sünde A sin b = cos ( a–b) – weil ( a+b);
2cos A cos B=cos( a–b) + cos ( a+b);
2 Sünde A cos B= Sünde ( a–b) + Sünde ( a+b).
Formeln für die Tangens- und Kotangensfunktionen können oben entnommen werden.
Formeln zur Gradreduzierung.
Aus den Mehrfachargumentformeln werden die folgenden Formeln abgeleitet:
| sin 2 a = (1 – cos 2a)/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a )/4. |
Mit diesen Formeln können trigonometrische Gleichungen auf Gleichungen niedrigeren Grades reduziert werden. Auf die gleiche Weise können wir Reduktionsformeln für höhere Potenzen von Sinus und Cosinus ableiten.
| Ableitungen und Integrale trigonometrischer Funktionen | |
| (Sünde X)` = cos X; | (weil X)` = –Sünde X; |
| (tg X)` = ; | (ctg X)` = – ; |
| Ich sündige nicht xdx= –cos X + C; | t weil xdx= Sünde X + C; |
| t tg xdx= –ln|cos X| + C; | t ctg x dx = ln|sin X| + C; |
Jede trigonometrische Funktion ist an jedem Punkt ihres Definitionsbereichs stetig und unendlich differenzierbar. Darüber hinaus sind die Ableitungen trigonometrischer Funktionen trigonometrische Funktionen, und wenn man sie integriert, erhält man auch trigonometrische Funktionen oder deren Logarithmen. Integrale rationaler Kombinationen trigonometrischer Funktionen sind immer Elementarfunktionen.
Darstellung trigonometrischer Funktionen in Form von Potenzreihen und unendlichen Produkten.
Alle trigonometrischen Funktionen können in Potenzreihen entwickelt werden. In diesem Fall sind die Funktionen sin X bcos X werden zeilenweise dargestellt. konvergent für alle Werte X:
Diese Reihen können verwendet werden, um Näherungsausdrücke für Sünde zu erhalten X und cos X bei kleinen Werten X:
bei | x| p/2;
bei 0 x| P
(B n – Bernoulli-Zahlen).
Sünde funktioniert X und cos X kann in Form unendlicher Produkte dargestellt werden:
Trigonometrisches System 1, cos X,Sünde X, weil 2 X, Sünde 2 X,¼,cos nx,Sünde nx, ¼, bildet sich auf dem Segment [– P, P] ein orthogonales Funktionensystem, das es ermöglicht, Funktionen in Form trigonometrischer Reihen darzustellen.
werden als analytische Fortsetzungen der entsprechenden trigonometrischen Funktionen des reellen Arguments in die komplexe Ebene definiert. Ja, Sünde z und cos z kann mithilfe von Reihen für Sünde definiert werden X und cos X, wenn stattdessen X setzen z:
Diese Reihen konvergieren über die gesamte Ebene, also Sünde z und cos z- ganze Funktionen.
Tangens und Kotangens werden durch die Formeln bestimmt:
tg-Funktionen z und ctg z– meromorphe Funktionen. TG-Stöcke z und Sek z– einfach (1. Ordnung) und an Punkten gelegen z = p/2 + pn, CTG-Stöcke z und cosec z– ebenfalls einfach und punktuell angeordnet z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Alle Formeln, die für trigonometrische Funktionen eines reellen Arguments gelten, gelten auch für ein komplexes. Insbesondere,
Sünde(- z) = –Sünde z,
cos(– z) = cos z,
tg(– z) = –tg z,
ctg(– z) = –ctg z,
diese. Gerade und ungerade Parität bleiben erhalten. Formeln werden ebenfalls gespeichert
Sünde( z + 2P) = Sünde z, (z + 2P) = cos z, (z + P) = tg z, (z + P) = ctg z,
diese. Auch die Periodizität bleibt erhalten und die Perioden sind die gleichen wie bei Funktionen eines reellen Arguments.
Trigonometrische Funktionen können als Exponentialfunktion eines rein imaginären Arguments ausgedrückt werden:
Zurück, e iz ausgedrückt in cos z und Sünde z nach der Formel:
e iz=cos z + ich Sünde z
Diese Formeln werden Eulersche Formeln genannt. Leonhard Euler entwickelte sie 1743.
Trigonometrische Funktionen können auch als hyperbolische Funktionen ausgedrückt werden:
z = –ich Sch iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
wobei sh, ch und th hyperbolischer Sinus, Cosinus und Tangens sind.
Trigonometrische Funktionen komplexer Argumente z = x + iy, Wo X Und j– reelle Zahlen, können durch trigonometrische und hyperbolische Funktionen reeller Argumente ausgedrückt werden, zum Beispiel:
Sünde( x + iy) = Sünde X CH j + ich cos X Sch j;
weil( x + iy) = cos X CH j + ich Sünde X Sch j.
Sinus und Cosinus eines komplexen Arguments können reelle Werte annehmen, die im Absolutwert größer als 1 sind. Zum Beispiel:
Wenn ein unbekannter Winkel als Argument trigonometrischer Funktionen in eine Gleichung eingeht, heißt die Gleichung trigonometrisch. Solche Gleichungen sind so verbreitet, dass ihre Methoden Die Lösungen sind sehr detailliert und sorgfältig konzipiert. MIT Mithilfe verschiedener Techniken und Formeln werden trigonometrische Gleichungen auf Gleichungen der Form reduziert F(X)= a, Wo F– eine der einfachsten trigonometrischen Funktionen: Sinus, Cosinus, Tangens oder Kotangens. Bringen Sie dann das Argument zum Ausdruck X diese Funktion durch ihren bekannten Wert A.
Da trigonometrische Funktionen periodisch sind, gilt das Gleiche A Aus dem Wertebereich gibt es unendlich viele Werte des Arguments, und die Lösungen der Gleichung können nicht als einzelne Funktion von geschrieben werden A. Daher wird im Definitionsbereich jeder der wichtigsten trigonometrischen Funktionen ein Abschnitt ausgewählt, in dem sie alle ihre Werte jeweils nur einmal annimmt, und in diesem Abschnitt befindet sich die dazu inverse Funktion. Solche Funktionen werden durch das Hinzufügen des Präfixes arc (arc) zum Namen der ursprünglichen Funktion gekennzeichnet und als inverse trigonometrisch bezeichnet Funktionen oder einfach Bogenfunktionen.
Inverse trigonometrische Funktionen.
Für die Sünde X, cos X, tg X und ctg X Es können Umkehrfunktionen definiert werden. Sie werden entsprechend mit arcsin bezeichnet X(lesen Sie „Arkussinus“ X"), arcos X, arctan X und arcctg X. Per Definition Arcsin X es gibt so eine Nummer ja, Was
Sünde bei = X.
Ähnliches gilt für andere inverse trigonometrische Funktionen. Diese Definition weist jedoch einige Ungenauigkeiten auf.
Wenn Sie Sünde reflektieren X, cos X, tg X und ctg X relativ zur Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten der Koordinatenebene werden die Funktionen aufgrund ihrer Periodizität mehrdeutig: Unendlich viele Winkel entsprechen demselben Sinus (Kosinus, Tangens, Kotangens).
Um Mehrdeutigkeiten zu beseitigen, wird ein Abschnitt der Kurve mit einer Breite von P, in diesem Fall ist es notwendig, dass eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen dem Argument und dem Wert der Funktion gewahrt bleibt. Bereiche in der Nähe des Koordinatenursprungs werden ausgewählt. Für Sinus in Als „Eins-zu-eins-Intervall“ nehmen wir das Segment [– P/2, P/2], auf dem der Sinus monoton von –1 auf 1 ansteigt, für den Kosinus – das Segment, für den Tangens bzw. Kotangens die Intervalle (– P/2, P/2) und (0, P). Jede Kurve im Intervall wird relativ zur Winkelhalbierenden gespiegelt und nun können inverse trigonometrische Funktionen bestimmt werden. Lassen Sie beispielsweise den Argumentwert angegeben x 0 , so dass 0 Ј X 0 Ј 1. Dann der Wert der Funktion j 0 = Arcsin X 0 es wird nur eine Bedeutung geben bei 0 , so dass - P/2 Ј bei 0 Ј P/2 und X 0 = Sünde j 0 .
Somit ist der Arkussinus eine Funktion des Arkussinus A, definiert auf dem Intervall [–1, 1] und für jeden gleich A zu einem solchen Wert a , – P/2 a p /2 dass sin a = A. Es ist sehr praktisch, es mithilfe eines Einheitskreises darzustellen (Abb. 15). Wann | a| 1 Auf einem Kreis gibt es zwei Punkte mit Ordinate A, symmetrisch um die Achse u. Einer davon entspricht dem Winkel A= Arcsin A, und das andere ist die Ecke p - a. MIT unter Berücksichtigung der Periodizität des Sinus die Gleichung sin lösen X= A wird wie folgt geschrieben:
x =(–1)N Arcsin A + 2p n,
Wo N= 0, ±1, ±2,...
Andere einfache trigonometrische Gleichungen können auf die gleiche Weise gelöst werden:
cos X = A, –1 =A= 1;
x =±arcos A + 2p n,
Wo P= 0, ±1, ±2,... (Abb. 16);
tg X = A;
X= arctan A + P N,
Wo n = 0, ±1, ±2,... (Abb. 17);
ctg X= A;
X= arcctg A + P N,
Wo n = 0, ±1, ±2,... (Abb. 18).
Grundeigenschaften inverser trigonometrischer Funktionen:
Arcsin X(Abb. 19): Definitionsbereich – Segment [–1, 1]; Reichweite - [- P/2, P/2], monoton steigende Funktion;
arccos X(Abb. 20): Definitionsbereich – Segment [–1, 1]; Wertebereich – ; monoton fallende Funktion;
arctg X(Abb. 21): Definitionsbereich – alle reellen Zahlen; Wertebereich – Intervall (– P/2, P/2); monoton steigende Funktion; gerade bei= –P/2 und y = p /2 – horizontale Asymptoten;
arcctg X(Abb. 22): Definitionsbereich – alle reellen Zahlen; Wertebereich – Intervall (0, P); monoton fallende Funktion; gerade j= 0 und y = p– horizontale Asymptoten.
Weil trigonometrische Funktionen komplexer Argumente sin z und cos z(im Gegensatz zu Funktionen des realen Arguments) alle komplexen Werte annehmen, dann sind die Gleichungen sin z = A und cos z = A haben Lösungen für jeden Komplex ein x Und j Sind reelle Zahlen, gelten Ungleichungen
½| E\e y–E-y| ≤|sin z|≤½( e y +e-y),
½| Ey–E-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),
davon bei j® Ґ asymptotische Formeln folgen (einheitlich bezüglich X)
|Sünde z| » 1/2 e |y| ,
|cos z| » 1/2 e |y| .
Trigonometrische Funktionen tauchten erstmals im Zusammenhang mit astronomischen und geometrischen Forschungen auf. Die Verhältnisse der Segmente in einem Dreieck und einem Kreis, die im Wesentlichen trigonometrische Funktionen sind, finden sich bereits im 3. Jahrhundert. Chr e. in den Werken der Mathematiker des antiken Griechenlands – Euklid, Archimedes, Apollonius von Perga und andere waren diese Beziehungen jedoch kein eigenständiger Untersuchungsgegenstand, sodass sie trigonometrische Funktionen als solche nicht untersuchten. Sie galten zunächst als Segmente und wurden in dieser Form von Aristarchos (Ende 4. – 2. Hälfte des 3. Jahrhunderts v. Chr.), Hipparchos (2. Jahrhundert v. Chr.), Menelaos (1. Jahrhundert n. Chr.) und Ptolemaios (2. Jahrhundert n. Chr.) verwendet sphärische Dreiecke lösen. Ptolemäus erstellte die erste Akkordtabelle für spitze Winkel alle 30 Zoll mit einer Genauigkeit von 10 –6. Dies war die erste Sinustabelle. Als Verhältnis findet sich die Funktion sin a bereits in Aryabhata (Ende des 5. Jahrhunderts). Die Funktionen tg a und ctg a finden sich bei al-Battani (2. Hälfte des 9. – frühen 10. Jahrhunderts) und Abul-Vefa (10. Jahrhundert), der auch sec a und cosec a verwendet. Aryabhata kannte die Formel bereits (sin 2 a + cos 2 a) = 1, sowie Formeln für sin und cos eines halben Winkels, mit deren Hilfe ich Sinustabellen für Winkel bis 3°45" erstellt habe; basierend auf den bekannten Werten trigonometrischer Funktionen für die einfachsten Argumente. Bhaskara (12. Jahrhundert) gab eine Methode zum Erstellen von Tabellen in Form von 1 unter Verwendung von Additionsformeln an. Formeln zur Umwandlung der Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen verschiedener Argumente in ein Produkt wurden von Regiomontanus (15. Jahrhundert) und J. Napier im Zusammenhang mit dessen Erfindung der Logarithmen (1614) abgeleitet. Regiomontan gab eine Tabelle mit Sinuswerten in Einheiten von 1". Die Entwicklung trigonometrischer Funktionen in Potenzreihen wurde von I. Newton (1669) erhalten. Die Theorie der trigonometrischen Funktionen wurde von L. Euler in ihre moderne Form gebracht ( 18. Jahrhundert). Er besitzt ihre Definition für reale und komplexe Argumente, akzeptiert heute Symbolik und stellt Verbindungen mit der Exponentialfunktion und der Orthogonalität des Sinus- und Kosinussystems her.