Фазовая скорость волны. Интерференция волн

Рассмотрим результат интерференции двух синусоидальных плоских волн одинаковой амплитуды и частоты, распространяющихся в противоположных направлениях. Для простоты рассуждений допустим, что уравнения этих волн имеют вид:

Это означает, что в начале координат обе волны вызывают колебания в одинаковой фазе. В точке А с координатой х суммарное значение колеблющейся величины, согласно принципу суперпозиции (см. § 19), равно

Данное уравнение показывает, что в результате интерференции прямой и обратной волн в каждой точке среды (с фиксированной координатой происходит гармоническое колебание с той же частотой , но с амплитудой

зависящей от значения координаты х. В точках среды, в которых колебания отсутствуют вовсе: эти точки называются узлами колебаний.

В точках, где амплитуда колебаний имеет наибольшее значение, равное Эти точки называются пучностями колебаний. Легко показать, что расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно расстояние между пучностью и ближайшим узлом равно При изменении х на косинус в формуле (5.16) меняет знак на обратный (его аргумент изменяется на поэтому если в пределах одной полуволны - от одного узла до другого - частицы среды отклонились в одну сторону, то в пределах соседней полуволны частицы среды будут отклонены в противоположную сторону.

Волновой процесс в среде, описываемый формулой (5.16), называется стоячей волной. Графически стоячая волна может быть изображена так, как это показано на рис. 1.61. Допустим, что у есть смещение точек среды от состояния равновесия; тогда формула (5.16) описывает «стоячую волну смещения». В некоторый момент времени, когда все точки среды имеют максимальные смещения, направление которых в зависимости от величины координаты х определяется знаком Эти смещения показаны на рис. 1.61 сплошными стрелками. Спустя четверть периода, когда смещения всех точек среды равны нулю; частицы среды проходят через линию с различными скоростями. Спустя еще четверть периода, когда частицы среды опять будут иметь максимальные смещения, но противоположного направления; эти смещения показаны на

рис. 1.61 пунктирными стрелками. Точки суть пучности стоячей волны смещения; точки узлы этой волны.

Характерные особенности стоячей волны в отличие от обычной распространяющейся, или бегущей, волны следующие (имеются в виду плоские волны при отсутствии затухания):

1) в стоячей волне амплитуды колебаний различны в различных местах системы; в системе имеются узлы и пучности колебаний. В «бегущей» волне эти амплитуды везде одинаковы;

2) в пределах участка системы от одного узла до соседнего все точки среды колеблются в одинаковой фазе; при переходе к соседнему участку фазы колебаний меняются на обратные. В бегущей волне фазы колебаний, согласно формуле (5.2), зависят от координат точек;

3) в стоячей волне нет одностороннего переноса энергии, как это имеет место в бегущей волне.

При описании колебательных процессов в упругих системах за колеблющуюся величину у можно принять не только смещение или скорости частиц системы, но и величину относительной деформации или величину напряжения на сжатие, растяжение или сдвиг и т. д. При этом в стоячей волне, в местах, где образуются пучности скоростей частиц, располагаются узлы деформаций и, наоборот, узлы скоростей совпадают с пучностями деформаций. Преобразование энергии из кинетической формы в потенциальную и обратно происходит в пределах участка системы от пучности до соседнего узла. Можно считать, что каждый такой участок не обменивается энергией с соседними участками. Заметим, что превращение кинетической энергии движущихся частиц в потенциальную энергию деформированных участков среды за один период происходит дважды.

Выше, рассматривая интерференцию прямой и обратной волн (см. выражения (5.16)), мы не интересовались происхождением этих волн. Допустим теперь, что среда, в которой происходит распространение колебаний, имеет ограниченные размеры, например колебания вызываются в каком-нибудь сплошном теле - в стержне или струне, в столбе жидкости или газа и т. д. Волна, распространяющаяся в такой среде (теле), отражается от границ, поэтому в пределах объема этого тела непрерывно происходит интерференция волн, вызванных внешним источником и отраженных от границ.

Рассмотрим простейший пример; допустим, в точке (рис. 1.62) стержня или струны при помощи внешнего синусоидального источника возбуждается колебательное движение с частотой ; начало отсчета времени выберем так, чтобы в этой точке смещение выражалось формулой

где амплитуда колебаний в точке Вызванная в стержне волна отразится от второго конца стержня 0% и пойдет в обратном

направлении. Найдем результат интерференции прямой и отраженной волн в некоторой точке стержня имеющей координату х. Для простоты рассуждений предположим, что в стержне нет поглощения энергии колебаний и поэтому амплитуды прямой и отраженной волн равны.

В некоторый момент времени когда смещение колеблющихся частиц в точке равно у, в другой точке стержня смещение вызванное прямой волной будет, согласно формуле волны, равно

Через эту же точку А проходит также и отраженная волна. Чтобы найти смещение вызванное в точке А отраженной волной (в тот же самый момент времени необходимо рассчитать время в течение которого волна пройдет путь от до и обратно до точки Так как то смещение, вызванное в точке отраженной волной, будет равно

При этом предполагается, что на отражающем конце стержня в процессе отражения не происходит скачкообразного изменения фазы колебания; в некоторых случаях такое изменение фазы (называемое потерей фазы) имеет место и должно быть учтено.

Сложейие колебаний, вызванных в различных точках стержня прямой и отраженной волнами, дает стоячую волну; действительно,

где некоторая постоянная фаза, не зависящая от координаты х, а величина

является амплитудой колебаний в точке она зависит от координаты х, т. е. различна в различных местах стержня.

Найдем координаты тех точек стержня, в которых образуются узлы и пучности стоячей волны. Обращение косинуса в нуль или единицу происходит при значениях аргумента, кратных

где целое число. При нечетном значении этого числа косинус обращается в нуль и формула (5.19) дает координаты узлов стоячей волны; при четных мы получим координаты пучностей.

Выше было произведено сложение только двух волн: прямой, идущей от и отраженной, распространяющейся от Однако следует учесть, что отраженная волна на границе стержня вновь отразится и пойдет в направлении прямой волны. Таких отражений

от концов стержня будет много, и поэтому необходимо найти результат интерференции не двух, а всех одновременно существующих в стержне волн.

Предположим, что внешний источник колебаний вызывал в стержне волны в течение некоторого времени после чего поступление энергии колебаний извне прекратилось. За это время в стержне произошло отражений, где время, в течение которого волна прошла от одного конца стержня к другому. Следовательно, в стержне будет одновременно существовать волн, идущих в прямом, и волн, идущих в обратном направлениях.

Допустим, что в результате интерференции одной пары волн (прямой и отраженной) смещение в точйе А оказалось равным у. Найдем условие, при котором все смещения у, вызываемые каждой парой волн, имеют в точке А стержня одинаковые направления и поэтому складываются. Для этого фазы колебаний, вызванных каждой парой волн в точке должны отличаться на от фазы колебаний, вызванных следующей парой волн. Но каждая волна вновь возвращается в точку А с тем же направлением распространения лишь спустя время т. е. отстает по фазе на со приравнивая это отставание где целое число, получаем

т. е. вдоль длины стержня должно уместиться целое число полуволн. Заметим, что этом условии фазы всех волн, идущих от в прямом направлении, отличаются друг от друга на где целое число; точно так же фазы всех волн, идущих от в обратном направлении, отличаются друг от друга на Поэтому, если одна пара волн (прямая и обратная) дает вдоль стержня распределение смещений, определяемое формулой (5.17), то при интерференции пар таких волн распределение смещений не изменится; увеличатся только амплитуды колебаний. Если максимальная амплитуда колебаний при интерференции двух волн, согласно формуле (5.18), равна то при интерференции многих волн она будет больше. Обозначим ее через тогда распределение амплитуды колебаний вдоль стержня вместо выражения (5.18) определится по формуле

Из выражений (5.19) и (5.20) определяются точки, в которых косинус имеет значения или 1:

где целое число Координаты узлов стоячей волны получатся из этой формулы при нечетных значениях тогда в зависимости от длины стержня, т. е. величины

координаты пучностей получатся при четных значениях

На рис. 1.63 схематически показана стоячая волна в стержне, длина которого ; точки суть пучности, точки узлы этой стоячей волны.

В гл. было показано, что при отсутствии периодических внешних воздействий характер кодебательных движений в системе и прежде всего основная величина - частота колебаний - определяются размерами и физическими свойствами системы. Каждая колебательная система обладает собственным, ей присущим колебательным движением; это колебание можно наблюдать, если вывести систему из состояния равновесия и затем устранить внешние воздействия.

В гл. 4 ч. I рассматривались преимущественно колебательные системы с сосредоточенными параметрами, в которых инертной массой обладали одни тела (точечные), а упругими свойствами - другие тела (пружины). В отличие от них колебательные системы, в которых масса и упругость присущи каждому элементарному объему, называются системами с распределенными параметрами. К ним относятся рассмотренные выше стержни, струны, а также столбы жидкости или газа (в духовых музыкальных инструментах) и т. д. Для таких систем собственными колебаниями являются стоячие волны; основная характеристика этих волн - длина волны или распределение узлов и пучностей, а также частота колебаний - определяется только размерами и свойствами системы. Стоячие волны могут существовать и при отсутствии внешнего (периодического) воздействия на систему; это воздействие необходимо только для того, чтобы вызвать или поддержать в системе стоячие волны или же изменить амплитуды колебаний. В частности, если внешнее воздействие на систему с распределенными параметрами происходит с частотой, равной частоте ее собственных колебаний, т. е. частоте стоячей волны, то имеет место явление резонанса, рассмотренное в гл. 5.

Для различных частот одинакова.

Таким образом, у систем с распределенными параметрами собственные колебания - стоячие волны - характеризуются целым спектром частот, кратных между собой. Наименьшая из этих частот, соответствующая наибольшей длине волны называется основной частотой; остальные ) - обертонами или гармониками.

Каждая система характеризуется не только наличием такого спектра колебаний, но и определенным распределением энергии между колебаниями различных частот. Для музыкальных инструментов это распределение придает звуку своеобразную особенность, так называемый тембр звука, различный для различных инструментов.

Изложенные выше расчеты относятся к свободному колеблющемуся" стержню длиной Однако обычно мы имеем стержни, закрепленные на одном или обоих концах (например, колеблющиеся струны), или же вдоль стержня имеется одна или несколько точек закрепления. Места закрепления, где частицы системы не могут совершать колебательного движения, являются вынужденными узлами смещения. Например,

если в стержне необходимо получить стоячие волны при одной, двух, трех точках закрепления и т. д., то эти точки не могут быть выбраны произвольно, а должны располагаться вдоль стержня так, чтобы они оказались в узлах образовавшейся стоячей волны. Это показано, например, на рис. 1.64. На этом же рисунке пунктиром показаны смещения точек стержня при колебаниях; на свободных концах всегда образуются пучности смещения, на закрепленных - узлы смещения. Для колеблющихся воздушных столбов в трубах узлы смещения (и скорости) получаются у отражающих твердых стенок; на открытых концах трубок образуются пучности смещений и скоростей.

§4 Интерференция волн.

Принцип суперпозиции. Понятие о когерентности волн

Если в среде распространяется несколько волн одновременно, то колебания частиц среды равны геометрической сумме колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются, не возмущая друг друга - принцип суперпозиции (наложения) волн.

Две волны называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени

-
условие когерентности.

Источники когерентных волн называются когерентными источниками.

т.к. для когерентных источников разность начальных фаз , то амплитуда А рез в различных точках зависит от величины , называемой разностью хода. Если

то наблюдается максимум.

При

наблюдается минимум.

При наложении волн от когерентных источников наблюдаются минимумы и максимумы, результирующей амплитуды, т.е. взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношения между фазами этих, волн - суть явления интерференции.

§5 Стоячие волны

Частным случаем интерференции являются стоячие волны - волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу волн с одинаковыми амплитудами н частотами.

Для вывода уравнения стоячей волны примем: 1) волны распространяются в среде без затухания; 2) А 1 = А 2 =А - имеют равные амплитуды; 3) ω 1 = ω 2 = ω - равные частоты; 4)φ 10 = φ 20 = 0.

Уравнение бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х (т.е. уравнение падающей волны):

(1)

Уравнение бегущей волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси х (т.е. уравнение отраженной волны):

(2)

Сложив (1) и (2) получим уравнение стоячей волны:

Особенностью стоячей волны является то, что амплитуда зависит от координаты х . При перемещении от одной точки к другой амплитуда меняется по закону:

Амплитуда стоячей волны.

Те точки среды, в которых амплитуда стоячей волны максимальна и равна 2А , называются пучностями. Координаты пучностей можно найти из условия, что

отсюда

Расстояние между двумя соседними пучностями равно .

Точки, в которых амплитуда стоячей волны минимальна и равна 0 , называются узлами. Координата узлов можно найти из условия

отсюда

Расстояние между двумя соседними узлами равно .

В отличие от бегущей волна, все точки которой колеблются с одинаковой амплитудой, но с разными фазами, зависящими от координаты х точки (), точки стоячей волны между двумя узлами колеблется с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами(). При переходе через узел множитель меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на π, т.е. точки лежащие по разные стороны от узла колеблются в противофазе.

Стоячая волна получается в результате интерференции падающей и отраженной волн. На характере отражения сказывается граница раздела двух сред, от которой происходит отражение. Если волна отражается от среды менее плотной (рис. а), то фаза волны на границе раздела не меняется и на границе раздела двух сред будет пучность. Если волна отражается от более плотной среды, то её фаза изменяет-ся на противоположную, т.е. отражение от более плотной среды происходит с потерей половины длины волны (λ/2). Бегущая волна переносит энергию колебательного движения в направлении распространения волны. Стоячая волна энергию не переносит, т.к. падаюшая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узлами остается постоянной. Лишь в пределах расстояний равных λ/2 происходит превращение кинетической энергии в потенциальную.

> Стоячие волны и резонанс

Характеристика стоячей волны с максимальной амплитудой: определение и графики стоячей волны, конструктивные и деструктивные помехи, особенности резонанса.

Стоячая волна – две волны накладываются, создавая новую с измененной амплитудой, но лишенной распространения.

Задача обучения

Охарактеризовать стоячую волну.

Основные пункты

Если две волны с одинаковыми амплитудой и длиной перемещаются в противоположные стороны, то чередуются между конструктивными и деструктивными помехами. В результате получаем стоячую на месте волну.
Узлы – точки без движения. Пучность – положение максимальной амплитуды.
В моменты землетрясений высокие здания могут легко разрушиться (если высота соответствует условию установки стоячей волны).

Термины

Резонанс – рост амплитуды колебания системы из-за воздействия периодической силы, чья чистота близка к собственной частоте системы.
Деструктивные помехи – волны мешают друг другу и точно не совпадают.
Конструктивные – волны мешают и расположены точно в фазе.

Стоячая волна

Иногда кажется, что волны вместо движения вибрируют. Подобные явления формируются из-за наложения двух или больше перемещающихся в разных направлениях волн. Помехи складываются по мере прохождения. Если обладают схожей амплитудой и длиной, то заметно чередование конструктивных и деструктивных помех. В результате получаем стоячую волну.

Отображена как сумма двух распространяющихся волн, перемещающихся в противоположных направлениях (красный и синий)

Стоячие волны можно найти в струнах музыкальных инструментов. Узлы – точки, лишенные перемещения. То есть, это определенная позиция, где волновое возмущение приравнивается к нулю. Фиксированные концы также выступают узлами, потому что струна туда не способна двигаться. Пучность указывает позицию максимальной амплитуды в стоячей волне.

У стоячей волны есть частота, связанная со скоростью распространения возмущения в струне. Длина волны (λ) вычисляется по дистанции между точками, где струна зафиксирована на позиции.

Здесь вы видите главный режим и первые шесть обертонов

Наиболее низкая частота – основная и выступает самой длинной. Обертоны или гармоники кратны основной частоте.

Резонанс

Если мы детальнее изучим случаи землетрясений, то заметим условия для резонанса: стоячие волны с конструктивными и деструктивными помехами. Здание способно вибрировать несколько секунд с частотой вращения, соответствующей частоте вибрации здания. Из-за этого одно строение разрушится, а более высокое способно остаться невредимым.

Волны землетрясения перемещаются по поверхности и отражают более плотные породы, поэтому в конкретных местах возникают конструктивные помехи. Очень часто районы возле эпицентра остаются невредимыми, а вот отдаленные несут потери.

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. (Более строгое определение когерентности будет дано в § 120.) При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, Дают стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:

Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим

Уравнение (99.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета так, чтобы разность , стала равной нулю, а начало отсчета - так, чтобы оказалась равной нулю сумма Кроме того, заменим волновое число k его значением

Тогда уравнение (99.1) примет вид

Из (99.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от х:

амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (99.3) получаются значения координат пучностей:

Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (99.4).

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения

Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (99.5).

Из формул (99.4) и (99.5) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно . Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Обратимся снова к уравнению (99.2). Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т. е. в одинаковой фазе). На рис. 99.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия.

Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.

Продифференцировав уравнение (99.2) один раз по t, а другой раз по х, найдем выражения для скорости частиц и для деформации среды :

Уравнение (99.6) описывает стоячую волну скорости, а (99.7) - стоячую волну деформации.

На рис. 99.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смещения, скорости и деформации для моментов времени 0 и Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пучностями смещения; узлы же и пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения. В то время как достигают максимальных значений, обращается в нуль, и наоборот.

Соответственно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где находятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

Стоячие волны образуются в результате интерференции двух встречных плоских волн одинаковой частоты ω и амплитуды А.

Представим себе, что в точке S (рис.7.4) находится вибратор, от которого вдоль луча SO распространяется плоская волна. Достигнув преграды в точке О, волна отразится и пойдёт в обратном направлении, т.е. вдоль луча распространяются две бегущие плоские волны: прямая и обратная. Эти две волны когерентны, так как рождены одним и тем же источником и, накладываясь друг на друга, будут интерферировать между собой.

Возникающее в результате интерференции колебательное состояние среды и называется стоячей волной.

Запишем уравнение прямой и обратной бегущей волны:

прямая -
;обратная -

где S 1 и S 2 – смещение произвольной точки на луче SO. С учётом формулы для синуса суммы результирующее смещение равно

Таким образом, уравнение стоячей волны имеет вид

(7.17)

Множитель cosωt показывает, что все точки среды на луче SО совершают простые гармонические колебания с частотой
. Выражение
называется амплитудой стоячей волны. Как видно, амплитуда определяется положением точки на лучеSO (х).

Максимальное значение амплитуды будут иметь точки, для которых

или
(n = 0, 1, 2,….)

откуда
, или
(7.18)

пучностями стоячей волны .

Минимальное значение , равное нулю, будут иметь те точки для которых

или
(n = 0, 1, 2,….)

откуда
или
(7.19)

Точки, имеющие такие координаты, называют узлами стоячей волны . Сопоставляя выражения (7.18) и (7.19), видим, что расстояние между соседними пучностями и соседними узлами равно λ/2.

На рисунке сплошной линией изображено смещение колеблющихся точек среды в некоторый момент времени, пунктирной кривой – положение этих же точек через Т/2. Каждая точка совершает колебания с амплитудой, определяемой её расстоянием от вибратора (х).

В отличие от бегущей волны в стоячей волне не происходит переноса энергии. Энергия просто переходит из потенциальной (при максимальном смещении точек среды от положения равновесия) в кинетическую (при прохождении точками положения равновесия)в пределах между узлами, остающимися неподвижными.

Все точки стоячей волны в пределах между узлами колеблются в одинаковой фазе, а по разные стороны от узла – в противофазе.

Стоячие волны возникают, например, в закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении в ней поперечных колебаний. Причём в местах закреплений располагаются узлы стоячей волны.

Если стоячая волна устанавливается в воздушном столбе, открытом с одного конца (звуковая волна), то на открытом конце образуется пучность, а на противоположном – узел.

Примеры решения задач

Пример . Определите скорость распространения звука в воде, если длина волны равна 2м, а частота колебаний источника ν=725Гц. Определите также наименьшее расстояние между точками среды, колеблющимися в одинаковой фазе.

Дано : λ=2м; ν=725Гц.

Найти : υ; х.

Решение . Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется определённая фаза волны за период Т, т.е.

где υ – скорость волны; ν - частота колебаний.

Тогда искомая скорость

Длина волны – расстояние между ближайшими частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе. Следовательно, искомое наименьшее расстояние между точками среды, колеблющимися в одинаковой фазы, равно длине волны, т.е.

Ответ: υ=1450 м/с; х=2м.

Пример . Определите, во сколько раз изменится длина ультразвуковой волны при переходе её из меди в сталь, если скорость распространения ультразвука в меди и стали соответственно равны υ 1 =3,6км/с и υ 2 =5,5 км/с.

Дано : υ 1 =3,6км/с=3,6∙10 3 м/с. и υ 2 =5,5 км/с =5,5∙10 3 м/с.

Найти :.

Решение . При распространении волн частота колебаний не изменяется при переходе их одной среды в другую (она зависит только от свойств источника волн), т.е. ν 1 = ν 2 = ν.

Связь длины волны с частотой ν:

, (1)

где υ – скорость волны.

Искомое отношение, согласно (1),

Вычисляя, получаем
(увеличится в 1.53 раза).

Ответ :

Пример . Один конец упругого стержня соединён с источником гармонических колебаний, подчиняющихся закону
, а другой конец жёстко закреплён. Учитывая, то отражение в месте закрепления стержня происходит от более плотной среды, определите: 1) уравнение стоячей волны; 2) координаты узлов; 3) координаты пучностей.

Дано :
.

Найти : 1) ξ (x, t); 2) х у; 3) х n .

Решение . Уравнение падающей волны

, (1)

где А – амплитуда волны; ω - циклическая частота; υ - скорость волны.

Согласно условию задачи, отражение в месте закрепления стержня происходит от более плотной среды, поэтому волна меняет фазу на противоположную, и уравнение отражённой волны

Сложив уравнения (1) и (2), получим уравнение стоячей волны

(учли
; λ=υТ).

В точках среды, где

(m=0, 1, 2,….) (3)

Амплитуда колебаний обращается в нуль (наблюдаются узлы), в точках среды, где

(m=0, 1, 2,….) (4)

Амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А (наблюдаются пучности). Искомые координаты узлов и пучностей находим из выражений (3) и (4):

координаты узлов
(m=0, 1, 2,….);

координаты пучностей
(m=0, 1, 2,….).

Ответ : 1)
;
(m=0, 1, 2,….);
(m=0, 1, 2,….).

Пример . Расстояние между соседними узлами стоячей волны, создаваемый камертоном в воздухе ℓ =42см. Принимая скорость звука в воздухе υ=332 м/с, определите частоту колебаний ν камертона.

Дано : ℓ =42см=0,42м; υ=332 м/с.

Найти : ν.

Решение . В стоячеё волне расстояние между двумя соседними узлами равно . Следовательно, ℓ=, откуда длина бегущей волны

Связь между длиной волны и частотой
. Подставив в эту формулу значение (1), получим искомую частоту колебаний камертона

Ответ : ν=395 Гц.

Пример . Труба длиной ℓ = 50см заполнена воздухом и открыта с одного конца. Принимая скорость υ звука равной 340 м/с, определите, при какой наименьшей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна. Принимая скорость звука в воздухе υ=332 м/с, определите частоту колебаний ν камертона.

Дано : ℓ =50см=0,5м; υ=340 м/с.

Найти : ν 0 .

Решение. Частота будет минимальной при условии, что длина стоячей волны максимальна.

В открытой с одного конца трубе на открытой части будет пучность (отражение от менее плотной среды), а на закрытой части – узел (отражение от более плотной среды). Поэтому в трубе уложится четверть длины волны:

Учитывая, что длина волны
, можем записать

Откуда искомая наименьшая частота

Ответ : ν 0 =170 Гц.

Пример . Два электропоезда движутся навстречу друг другу со скоростями υ 1 =20 м/с и υ 2 =10 м/с. Первый поезд даёт свисток, высота тона которого соответствует частоте ν 0 =600 Гц. Определите частоту, воспринимаемую пассажиром второго перед встречей поездов и после их встречи. Скорость звука принять равной υ=332 м/с.

Дано : υ 1 =20 м/с; υ 2 =10 м/с; ν 0 =600 Гц; υ=332 м/с.

Найти: ν ; ν".

Решение. Согласно общей формуле, описывающей эффект Доплера в акустике, частота звука, воспринимаемая движущимся приёмником,

, (1)

где ν 0 - частота звука, посылаемая источником; υ пр - скорость движения приёмника; υ ист - скорость движения источника. Если источник и приёмник приближаются друг к другу, то берётся верхний знак, если удаляются – нижний знак.

Согласно обозначениями, данным в задаче (υ пр =υ 2 и υ ист =υ 1) и приведённым выше пояснениями, из формулы (1) искомые частоты, воспринимаемые пассажиром второго поезда:

Перед встречей поездов (электропоезда сближаются):

;

После встречи поездов (поезда удаляются друг от друга):

Ответ: ν=658 Гц; ν" =549 Гц.